26. Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Для вычислений удобнее пользоваться формулой :

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю : D ( C ) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат : D ( CX ) = C 2D ( X ).

3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ).

4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной - равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ).

27. Закон распределения непрерывной случайной величины

Случайная величина x называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением некоторого числа точек.

НСВ задается функцией распределения. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x) = P(X<x)

Свойства функции распределения:

1. F(x)>0

2. P(x1<x<x2) = F(x2)-F(x1)

3. F(x) монотонно возрастает на [0;1]

4. P(x = c) = 0, где с – константа

Если x – НСВ, то вероятность попадания СВ в интервал от x1 до x2 не зависит от того, закрытый или открытый этот интервал, т.е. P(x1<x<x2) = P(x1=< x =<x2)

28. Плотность вероятности непрерывной случайной величины

Плотность вероятности непрерывной случайной величины (дифференциальная функция распределения вероятностей) – функция, равная производной от закона распределения (интегральной функции): φ(x) = F`(x).

φ(x)dx = P (x принадлежит от x до x+dx) – вероятность попадания случайной величины в бесконечный промежуток.Свойства плотности вероятности:

1. Значения функции неотрицательны, т.е. φ(x))≥0

2. Непрерывна, не может быть разрывов

3. φ(- бесконечности) = 0

4. φ(+ бесконечности) = 0

5. P (a<x<b) =

6. 

29. Мат ожидание и дисперсия непрерывной случайной велечины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, называется интеграл:

В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. Вычисляется по формуле:

Относительно пределов интегрирования - то же самое.

30. Среднее квадратическо отклонение, мода и медиана непрерывной случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:

σ(X) = √D(X)

Мода непрерывной случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду - находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).

Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.