17. Пассивные rc-фильтры. Коэффициенты передачи для низкочастотных и высокочастотных фильтров.

18. Активный низкочастотный rc-фильтр.

Активный фильтр нижних частот 1-го порядка c RC-цепью обратной связи показан на рис.2.4. Получим передаточную функцию этого фильтра. Обозначим Z₁=R₁ и эквивалентное сопротивление R₂C₁- цепи Z₂=R₂/ (1+jC₁R₂). Сопротивления Z₁ и Z₂ - это элементы цепи параллельной отрицательной обратной связи по напряжению. Будем считать, что ток утечки между точкой N и землей отсутствует, а входное сопротивление усилителя бесконечно велико. Тогда ток входного сигнала будет протекать только через элементы цепи обратной связи Z₁ и Z₂ , т. е. Если учесть, что то передаточная функция такого фильтра будет иметь вид:

Если собственный коэффициент усиления велик K>>1, то потенциал точки N близок к нулю, и передаточная функция фильтра будет определяться только значениями элементов Z₁ и Z₂ цепи обратной связи:

где K₀ = - R₂ /R₁ , a₁=_сR₂C₁.

Для расчета схемы необходимо задать ча­стоту среза _с, коэффициент передачи постоянного сигнала K₀ = - R₂ /R₁ (для этой схемы он должен быть задан со знаком минус) и ем­кость конденсатора С₁ . Приравняв коэф­фициенты полученной передаточной функ­ции коэффициентам выражения (2.1), по­лучим: R₂=a₁/_cC₁ , R₁= - R₂ /K₀ .

Чтобы получить передаточную функцию фильтра верхних ча­стот первого порядка, необходимо в выражении (2.1) вели­чину p заменить на 1/p. Тогда

20-22. Колебательный разряд конденсатора на катушку индуктивности. Апериодический разряд конденсатора на катушку индуктивности. Предельный апериодический разряд конденсатора на катушку индуктивности.

Одна из классических задач расчета переходных процессов — анализ разряда конденсатора на цепь с последовательным соединением резистора и катушки (рис. 15.8).

Рис. 15.8

Запишем уравнения переходного процесса в контуре Исключая из приведенной системы uC, придем к дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно тока

Характеристическое уравнение последовательного колебательного контура

(15.1)

имеет корни

которые в зависимости от соотношений между параметрами цепи могут быть: 1) вещественными различными (R > 2ЦL/C); 2) вещественными равными (R = 2ЦL/C); 3) комплексно-сопряженными (R < 2ЦL/C).

В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер: разрядный ток не изменяет направления в течение всего процесса; в третьем случае процесс разряда колебательный.

При различных корнях (первый и третий случаи) общее решение однородного дифференциального уравнения можно записать в виде

Для определения двух постоянных интегрирования используем два начальных условия, вытекающих из условия непрерывности обеих переменных состояния в момент коммутации: i(0) = 0; u_C(0) = U₀. Из второго уравнения исходной системы можно найти значение производной di/dt в момент времени после коммутации. При t = + 0 di/dt = – U₀/L. Из общего решения для значения тока и его производной при подстановке получим систему для определения постоянных интегрирования:

,

решение которой приводит к значениям постоянных

и позволяет записать выражение для тока, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Напряжение u_L имеет общее выражение

а для напряжения на конденсаторе u_C получим из второго уравнения исходной системы

При его преобразовании учтем, что из характеристического уравнения по теореме Виета следует l₁ + l₂ = – R/L. Это позволяет привести последнее выражение к виду

Ход разряда конденсатора существенно зависит от вида корней характеристического уравнения.

1. Апериодический разряд наблюдается при вещественных корнях l_1, 2, что имеет место при соотношении между параметрами цепи R > 2ЦL/C.

Пусть l₁ — меньший по абсолютному значению корень, к которому в формуле для корней относится знак “плюс” перед радикалом. При этом разность l₁ – l₂ в знаменателе выражения для тока положительная. Разность экспонент e^l1^t – e^l2^t также положительна, поскольку e^l1^t  убывает медленнее, чем e^l2^t. Поэтому ток разряда сохраняет неизменное направление, противоположное направлению при заряде конденсатора. Поскольку i(0) = 0, в начале процесса — на фронте импульса — ток нарастает по абсолютному значению, а затем уменьшается (рис. 15.9).

Рис. 15.9

Начальная скорость нарастания тока di/dt(0) = |U₀/L| определяется значением индуктивности L. С ее уменьшением длительность фронта импульса сокращается, а абсолютное значение максимума i_max возрастает. Напряжение на индуктивности нарастает от значения – U₀ при t = 0, переходит через нуль в момент t_max достижения током максимального значения и изменяет знак. Анализ зависимости i(t) на экстремум показывает, что  t_max = . Напряжение на конденсаторе u_C имеет в течение всего процесса монотонный спадающий характер. Сначала его спад происходит медленно, далее в окрестности максимума тока убывание u_C ускоряется, а затем вновь замедляется. Из условия баланса напряжений в контуре u_C = – (Ri + L di/dt) легко установить связи между напряжениями на отдельных элементах и током в контуре. Так, в начальный момент разряда u_C = U₀; u_L = – U₀; i = 0. В момент максимума тока t_max u_C = – Ri, а u_L = 0; в течение всего процесса имеем u_C > | u_L|, так как Ri < 0.

2. Критический разряд. Характер всех рассмотренных зависимостей (при кратных корнях l₁ = l₂ = l = – R/2L) сохраняется. Решение для тока получим из общей формулы, раскрывая неопределенность при l₁ = l₂ = l

Для напряжений на индуктивности и емкости найдем:

Из приведенных выражений следует, что, как и при апериодическом разряде, значение тока в течение всего процесса отрицательно, напряжение u_L изменяет знак в момент максимума тока t_max = – 1/l = 2L/R = , а напряжение на емкости имеет монотонный падающий характер.

3. Колебательный разряд наблюдается при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения (при R < 2ЦL/C или добротность контура Q > 0,5). Выражая корни через их вещественные и мнимые части l_1, 2 = – d ± jw' (d = – R/2L; w' =  ), преобразуем общие соотношения для i, u_L и u_C:

В этих преобразованиях использованы формулы Эйлера. Соотношения показывают, что все три переменные имеют при разряде колебательный характер, периодически изменяя знак. Период колебаний T определяется из условия изменения аргумента тригонометрических функций на 2p: 2p = w'T, откуда

Период колебаний в контуре без потерь равен T₀ = 2pЦLC. Затухание колебаний по амплитуде, определяемое экспоненциальными множителями e^– dt, зависит от соотношения параметров контура. Обычно эта величина количественно характеризуется декрементом колебания D, равным отношению двух последующих амплитуд одного знака, отстоящих друг от друга на период D = e^– dt/e^– d(t+T) = e^dT. Вводится также понятие логарифмического декремента колебаний ln D = dT. У высокодобротного контура затухание имеет малое значение, вычитаемое в подкоренном выражении для периода T также мало, и T »  T₀ = 2pЦLC. При этом ln D = (R/2L) 2pЦL/C  = pR/ЦL/C = pd = p/Q, где d = R/ЦL/C = 1/Q – затухание контура. Этим определяется смысл понятия затухания, которое при сделанных допущениях, практически выполняющихся при d < 0,2, пропорционально логарифмическому декременту колебаний. При этих значениях параметров, что соответствует D < 2, частота собственных колебаний контура w' практически равна его резонансной частоте w' »  w₀ = 1/ЦLC. Зависимости i, u_L и u_C(t) для D = 2 изображены на рис. 15.10.

Рис. 15.10

Начальная часть процесса  (при t < T/4) имеет характер, сходный с начальной частью апериодического разряда. Однако теперь к моменту максимума тока t » T/4 катушка успевает накопить бóльшую часть энергии, первоначально запасенной в конденсаторе, который к этому времени уже почти разряжен. Далее, по мере спада тока, во второй четверти периода (T/4 < t < T/2) конденсатор перезаряжается, но напряжение на нем изменяет полярность на противоположную, а накопленная в катушке энергия вновь  возвращается к конденсатору. Этот периодический обмен энергией продолжается и в последующие фазы разряда, но его интенсивность постепенно ослабевает, так как в течение каждого цикла перезарядки часть энергии рассеивается в виде тепла в сопротивлении контура R.