36.Стратегическая модель Леонтьева.

(модель межотраслевого баланса)

1.Пусть экономика состоит из n – отраслей. Предположим что в экономике производится, продается, покупается, потребляется, инвестируется n-видов продукции.

2. Каждая отрасль является чистой, т.е. производит только 1 вид продукции. Различные отрасли выпускают различную продукцию.

3. Под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобразование некоторых типов продуктов в определенный конечный продукт.

- количество ед i-го продукта, необходимого для производства j-го продукта.

- валовый выпуск i-го продукта за год.

- потребление выпуска отрасли в непроизводственной сфере(СПРОС)

Количество продукта которое используется по всем отраслям:

∑ j- 1…n

Чистый продукт:

∑ <-Статистическая модель Леонтьева.

Координатная запись модели.

Модель Леонтьева позволяет определить валовый продукт отрослей по заданному спросу- . Все величины модели должны бить неотрицательными.

Величины могут быть использованы в натуральных или стоимостных измерениях, т.о. межотраслевой баланс может быть либо натуральным либо стоимостным.

X=(x1,…xn)^T вектора

C=(c1….cn)^T

А= i,j – матрица коэф-ов

Х=АХ+С <-Статистическая модель Леонтьева. -> (Е-А)х=с

Х,A,c> 0 матричная запись модели.

Уравнение Леонтьева может быть получено из модели Вальраса, если в качестве производственной функции взять производственную функцию Леонтьева.

36. Продуктивность модели Леонтьева.

Система Х=АХ+С называется продуктивной, если она разрешена в неотрицательных значениях переменной

Что бы найти решение системы, запись (Е-А)х=с умножаем на матрицу обратную к матрице (E-A)

Т.о. х=( -> если обратная матрица существует и она положительна, то решение будет положительным модель Леонтьева будет продуктивной.

Условия:

1.Матрица - должна быть неотрицательно определена.

Проверить можно использовав критерий Сильвера – матрица будет неотрицательно определена, если все ее миноры имеют чередующиеся знаки начиная с отрицательного.(критерий применяется когда n<10)

2.Бесконечный матричный ряд вида Е+А+А^2…- сходится и его сумма =

3.Модель Леонтьева будет продуктивной если наибольшее собственное значение матрицы А по модулю меньше единицы.|Е-λА|=0 λ-собств.число.

|λmax|<1

Если модель Леонтьева продуктивна, то для любого вектора конечного спроса с 0 однозначно определяется неотрицательные вектор валового продукта-т.е. х.

X=C+AC+ C+…

Матрица >0 – называется матрицей полных затрат, обозначается А*. Используя А* можем записать решение модели Леонтьева в матричном виде:

Х=А*С.

38.Рыночное равновесие модели Леонтьева.

Может быть использована для нахождения рыночного равновесия. При ее использовании находятся объемы спроса и потребления, гарантировано положительные величины.

Обозначения:

- количество iго фактора производства, необходимое для обеспечения выпуска jтой отрасли xj. Определяется : xj

Где – матрица технологических коэффициентов факторов производства.

- объем предложения iго фактора производства.

Просуммируем соотношение по выпускам всех отраслей и получим спрос всей экономики на эти факторы производства:

i=1…m

=

Bx<r - в матричном виде.

Прямая задача:

Заключается в максимизации национального продукта.

C->max

p-цены, С- заданный объем.

(обычная задача линейного программирования)

C->max

X=Ax+C упростим -> Bx<r

Bx<r x>0

x 0

Двойственная задача:

Минимизация стоимости национального продукта.

A + B

w

Что бы найти рыночное равновесие нужно решить 2 задачи прямую и двойственную.