- •Вопросы по вышке
- •Матрицы и операции над ними и их свойства. Определитель матрицы порядков 2 и 3 и в общем случае.
- •Шесть основных свойств определителя 3-го порядка.
- •Определители n-го порядка (общий случай)
- •Свойства определителя матрицы и теорема о разложении.
- •Основные понятия систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
- •Формулы Крамера
- •Основные понятия систем линейных уравнений. Метод гаусса.
- •Метод Гаусса
- •Обратная матрица. Вычисление коэффициентов, использование при решении систем линейных уравнений.
- •Компонента вектора, проекция на ось, скалярное произведение векторов на плоскости. Расстояние между точками, уравнение линии.
- •1.3.1.Преобразование компонент вектора при поворотах осей координат.
- •Уравнение прямой плоскости. Угол между прямыми и расстояние о точки до прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Кривые второго порядка. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Уравнение поверхности. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.
- •Углы между прямыми и плоскостями и расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Определения
- •Замечания
- •[Примеры
- •Пределы первый и второй замечательные пределы.
- •Асимптоты вертикальные, наклонные, горизонтальные, вычисление коэфицентов, графическая иллюзия.
- •Непрерывность функции в точке и на отрезке. Пределы сложной функции. Классификация точек разрыва.
- •Сложные функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •Определение производной и дифференцируемости функции. Определение производной
- •Непрерывность дифференцируемой функции
1.3.1.Преобразование компонент вектора при поворотах осей координат.
Рассмотрим две системы координат (не штрихованную и штрихованную; рис.2). Представим орты штрихованной системы в виде линейных комбинаций не штрихованных:
Рис.2
Девять чисел, девять направляющих косинусов определяют ориентацию новой системы относительно старой. В свою очередь старая система координат выражается через новую: (1.29)
Вектор задан в не штрихованных координатах компонентами (А1, А2, А3), а в штрихованных (А1', А2', А3')
=Аk. =Ai. ' ; Ai=( '.A)=( '.Ak )= ik Ak (1.30)
Направляющие косинусы можно рассматривать как элементы матрицы =
В виде матрицы - столбцов можно представить и тройки компонент
= ; =
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка чисел (А1, А2, А3), которая при повороте осей координат преобразуется согласно правилу (1.32) в тройку (А1', А2', А3') , представляет некий вектор.
Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:
В частном случае, если , то
Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1о. Скалярное произведение коммутативно:
.
2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:
3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:
.
4о. (либо , либо , либо ). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.
Уравнение прямой плоскости. Угол между прямыми и расстояние о точки до прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.