10. Углы между прямыми и плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:       

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например  , перепишем уравнение (12.4) в виде

   Сравнивая уравнение с уравнением, видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором  , проходящей через точку .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1.  Если D = 0, то оно принимает вид   . Этому уравнению удовлетворяет точка  . Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.

2.  Если С = 0, то имеем уравнение  . Нормальный вектор   перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.

3.  Если С = D = 0, то плоскость проходит через   параллельно оси Οz, т. е. плоскость   проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям   и   отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4.  Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид  , т. е.   Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям   и   отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.

5.  Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид  , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂) и М₃(х₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы  ,  ,  . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем   ,  т. е.   Уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями Q₁ и Q₂ понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

У гол    между  нормальными  векторами     и    плоскостей Q₁ и Q₂ равен одному из этих углов .

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны    (см. рис. 73, а), то

таковы же их нормали, т. е.            (и наоборот). Но тогда  , т. е.  . Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали   и   (и наоборот). Но тогда, как известно координаты векторов пропорциональны:  . Это и есть уcловиє параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка   и плоскость Q своим уравнением  . Расстояние d от точки   до плоскости Q находится по формуле

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки   до прямой  .

Расстояние d от точки M₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора  , г де   — произвольная точка плоскости Q, нанаправление нормального вектора   (см. рис. 74). Следовательно,

  А так как точка   принадлежит плоскости Q, то

Поэтому  . Отметим, что если плоскость Q задана уравнением  , то расстояние от точки   до плоскости Q может быть найдено по формуле