- •Вопросы по вышке
- •Матрицы и операции над ними и их свойства. Определитель матрицы порядков 2 и 3 и в общем случае.
- •Шесть основных свойств определителя 3-го порядка.
- •Определители n-го порядка (общий случай)
- •Свойства определителя матрицы и теорема о разложении.
- •Основные понятия систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
- •Формулы Крамера
- •Основные понятия систем линейных уравнений. Метод гаусса.
- •Метод Гаусса
- •Обратная матрица. Вычисление коэффициентов, использование при решении систем линейных уравнений.
- •Компонента вектора, проекция на ось, скалярное произведение векторов на плоскости. Расстояние между точками, уравнение линии.
- •1.3.1.Преобразование компонент вектора при поворотах осей координат.
- •Уравнение прямой плоскости. Угол между прямыми и расстояние о точки до прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Кривые второго порядка. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Уравнение поверхности. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.
- •Углы между прямыми и плоскостями и расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Определения
- •Замечания
- •[Примеры
- •Пределы первый и второй замечательные пределы.
- •Асимптоты вертикальные, наклонные, горизонтальные, вычисление коэфицентов, графическая иллюзия.
- •Непрерывность функции в точке и на отрезке. Пределы сложной функции. Классификация точек разрыва.
- •Сложные функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •Определение производной и дифференцируемости функции. Определение производной
- •Непрерывность дифференцируемой функции
Определение производной и дифференцируемости функции. Определение производной
Пусть на некотором промежутке Х определена функция y = f (x). Возьмём любую точку х0 Х и зададим аргументу х в точке х0 произвольное приращение Δ xтакое, что точка х0 + Δ x также принадлежит Х. Функция получит приращение Δy = f (x0 + Δ x) − f (x0). Производной функции у = f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → 0 (при условии, что этот предел существует) .
Правой производной функции у = f (x) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → + 0 (при условии, что этот предел существует) .
Левой производной функции у = f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → − 0 (при условии, что этот предел существует) .
Если левая производная функции у = f (x) в точке х0 совпадает с правой производной функции у = f (x) в этой точке, то эти односторонние производные совпадают с самой производной функции в данной точке. Если для некоторого значения х0 выполняется условие (или ),
то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).
Непрерывность дифференцируемой функции
Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале. Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна. Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная .
Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношени ,
где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке. Примером может служить функция , график которой представлен на рисунке ниже
Для этой функции левая и правая производные не совпадают, хотя функция обладает свойством непрерывности. Если функция y = f (x) имеет конечную производную в каждой точке х Х, то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.