Шесть основных свойств определителя 3-го порядка.

Определители третьего порядка (как и определители 2-го порядка) обладают следующими шестью свойствами, следующими из формулы (для определителей второго порядка – из формулы).

1.     определитель не изменится, если строки его матрицы сделать столбцами, а столбцы строками;

2.     при перестановке двух строк определителя он меняет знак;

3.     если в определителе имеются две одинаковые строки, то определитель равен нулю;

4.     общий множитель определителя строки можно вынести за знак определителя;

5.     если элементы одной строки определителя пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю;

6.     если к одной строке определителя прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится.

Примеры:

1)  2×3×5+1×1×2+2×(-4)×3-2×3×2-1×(-4)×5-2×1×3=30 + 2 – 24 – 12 +20 – 6 =10

2)  1×3×0+0×2×1+(-5)×(-2)×(-2)-(-5)×3×1-0×(-2)×0-1×2×(-3)= -20 + 15 +4 = - 1

Правая часть равенства (8) также будет определителем третьего порядка, а именно определителем матрицы, получающейся из матрицы (7) заменой ее первого столбца столбцом из свободных членов системы (6). Обозначим определитель (9) символом D, а определитель матрицы, получающейся заменой j-го столбца столбцом из свободных членов системы (6) символом D₁. Тогда равенство (8) приобретает вид D×x₁=D₁, откуда при D¹0 следует                                    

Таким же путем, умножая уравнения (6) соответственно на числа а₂₃а₃₁ – а₂₁а₃₃, а₁₁а₃₃ – а₁₃а₃₁, а₁₃а₂₁ – а₁₁а₂₃, получим для х₂ следующее выражение (снова при d¹0):

Наконец, умножая уравнения (6) соответственно на а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁, а₁₂а₃₁ – а₁₁а₃₂, а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁, придем к выражению для х₃:

Таким образом, если определитель из коэффициентов системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то решение этой системы может быть найдено по правилу Крамера, формулируемому также, как и в случае системы двух уравнений.

П ример: Решить систему:

Определитель из коэффициентов системы отличен от нуля:

поэтому к системе применимо правило Крамера. Числителями для неизвестных будут определители

т. е. решением системы являются следующие значения х_i:

 

Определители n-го порядка (общий случай)

Р ассмотрим матрицу n-го порядка

                                                (13)

 Минором любого элемента а_ij матрицы n-го порядка (1) называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получающейся из исходной вычеркиванием рядов (столбца и строки), пересекающихся на упомянутом элементе (i- ой строки, j-го столбца). Этот минор, умноженный на (-1)^р, где p=i+j – сумма номеров вычеркнутых рядов (столбца и строки) называется алгебраическим дополнением А_ij того же элемента.

Например, алгебраическое дополнение А₃₄ элемента a₃₄ матрицы 4-го порядка (порядка 4´4, речь все время идет оквадратных матрицах!)

есть величина:

А₃₄=(-1)⁽³⁺⁴⁾

 

Лемма. Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) матрицы ) на их алгебраические дополнения не зависят от выбора ряда. (Примем без доказательства)

Например, для матрицы 4-го порядка : а₁₁А₁₁+а₂₁А₂₁+а₃₁А₃₁+ а₄₁А₄₁= а₃₁А₃₁+а₃₂А₃₂+а₃₃А₃₃+а₃₄А₃₄

Понятие алгебраического дополнения используется для введения общего понятия определителя:

Определителем n-го порядка, соответствующим некоторой матрице (n-го порядка) называется сумма парных произведений элементов любого ряда этой матрицы на их алгебраические дополнения.

Таким образом, зная, что такое определитель 3-го порядка, можно ввести определитель 4-го порядка, 5-го, 6-гопорядков и т. д.

ИЗ ТЕТРАДИ

Операции на матрицах:

А)сложение и вычитание(производит только с одинаковыми с матрицей одного размера) При этом складываются числа стоящее на одинаковых местах.

Б) Умножение МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить каждый элемент матрицы на это число.

В) Умножение матрицы на матрицу. Для этого число столбцов в 1ой матрице должно совпадать с числом строк во 2ой .