14. Пределы первый и второй замечательные пределы.

Замеча́тельныепреде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождествсо взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Д оказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что: (1) (где  — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

Доказательство следствий  

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x  

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел длявещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

15. Предел суммы , разности, произведения и отношения функции.

Обозначение предела Предел функции обозначается как   , при   или через символ предела   .

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Рассмотрим основные свойства пределов.

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

1. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

3. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

Элементарные функции и их классификация

         Функции:

                                                                   - степенная;

                                                      - показательная;

                                        - логарифмическая;

                                                         - тригонометрические;

                                                         - обратные тригонометрические;

                                                    - постоянная.

 Называются основными элементарными функциями.