- •Вопросы по вышке
- •Матрицы и операции над ними и их свойства. Определитель матрицы порядков 2 и 3 и в общем случае.
- •Шесть основных свойств определителя 3-го порядка.
- •Определители n-го порядка (общий случай)
- •Свойства определителя матрицы и теорема о разложении.
- •Основные понятия систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
- •Формулы Крамера
- •Основные понятия систем линейных уравнений. Метод гаусса.
- •Метод Гаусса
- •Обратная матрица. Вычисление коэффициентов, использование при решении систем линейных уравнений.
- •Компонента вектора, проекция на ось, скалярное произведение векторов на плоскости. Расстояние между точками, уравнение линии.
- •1.3.1.Преобразование компонент вектора при поворотах осей координат.
- •Уравнение прямой плоскости. Угол между прямыми и расстояние о точки до прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Кривые второго порядка. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Уравнение поверхности. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.
- •Углы между прямыми и плоскостями и расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Определения
- •Замечания
- •[Примеры
- •Пределы первый и второй замечательные пределы.
- •Асимптоты вертикальные, наклонные, горизонтальные, вычисление коэфицентов, графическая иллюзия.
- •Непрерывность функции в точке и на отрезке. Пределы сложной функции. Классификация точек разрыва.
- •Сложные функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •Определение производной и дифференцируемости функции. Определение производной
- •Непрерывность дифференцируемой функции
Расстояние от точки до плоскости
Пусть плоскость П задана уравнением AX+BY+CZ+D=0 и дана точка M0(X0;Y0;Z0) . Тогда расстояние p от точки M0 до плоскости П определяется по формуле
|
Доказательство. Расстояние от точки M0 до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость . Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости
В ектор KM0 и нормальный вектор n плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому
Откуда
|
Координаты точки , которые нам неизвестны, обозначим X1,Y1,Z1 . Тогда . Так как , то . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим
|
(11.9) |
Точка лежит на плоскости , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда находим, что . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим . Так как , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).
Е- окрестности точки и символов +и- бесконечности. Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
ε-окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ε.
Определения
Пусть есть метрическое пространство, и ε > 0. ε-окрестностью x0 называется множество
Пусть дано подмножество Тогда ε-окрестностью этого множества называется множество
Замечания
ε-окрестностью точки x0 таким образом называется открытый шар с центром в x0 и радиусом ε.
Прямо из определения следует, что
ε-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.
[Примеры
Пусть есть вещественная прямая со стандартной метрикой Тогда
U2(1) = ( − 1,3);
U1([5,7]) = (4,8).
Пределы функций.
Определим понятие окрестности точки х0 как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x0| < δ, где δ > 0 — некоторое число. Само значение х0 может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.
Определение 13.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0, если такое, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ.
ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку. ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка. ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+) . ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b) . ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - . Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf(х) і<. >0 U U => іf(x) і< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х) =А+ (х) , где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо. limf(x) =А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х) =f(х) + (х) , где (х) -б. м. в окр. т. Хо. Иными словами, f(х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции. ТЕОРЕМА: Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения. Схема: 1. ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б. м. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ: Теорема#1: Единственная константа, явл-ся б. м. Теорема#2: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо, то их сумма тоже б. м. в этой окр. Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр. т. Хо, если сущ. проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0, такие что іf(х) і<М в каждой точке прок. окр. т. Хо. U M>0: іf(x) і Теорема#3: Если (х) -б. м. в окр. т. Хо, то она ограничена в этой окр. Теорема#4: О произведении б. м. на ограниченную: Если ф-ция (х) -б. м., а f(х) -ограниченная в окр. т. Хо, то (х) *f(х) -б. м. в окр. т. Хо. Теорема#5: О промежуточной б. м.: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х) < (х) < (х) - 2 в окр. т. Хо U, то (х) -б. м. в окр. т. Хо. Две б. м. называются сравнимыми, если существует предел их отношения. Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное 0. Две б. м. в окр. т. Хо называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1. Теорема#1: Если и -эквивалентные б. м., то их разность есть б. м. более высокого порядка, чем и чем. Теорема#2: Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого порядка, чем и чем, то и есть эквивалентные б. м.
Пределы на бесконечности
Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).
Определения, аналогичное "ε−δ"
Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть f:M⊂R→R, и supM=∞. Число A∈R называется пределом функции f при x→+∞(предел в плюс-бесконечности), если
∀ε>0∃T∈R∀x∈M∩(T,∞)|f(x)−A|<ε.
Пишут:
limx→∞f(x)=A.
Аналогично пусть f:M⊂R→R, и infM=∞. Число A∈R называется пределом функции f при x→−∞ (предел в минус-бесконечности), если
∀ε>0∃T∈R∀x∈M∩(−∞,T)|f(x)−A|<ε.
Пишут:
limx→−∞f(x)=A.
Полуокресности, односторонние пределы. Графическая иллюстрация.
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственнолевосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).
Определения
Пусть задана числовая функция и — предельная точка области определения M.
Число называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если
Число называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если
Обозначения
Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть и Тогда системы множеств
и
являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
Свойства
Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.
Примеры Пусть и
Тогда (см. рис.) Поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 3 различны, то предела данной функции в 0не существует.
Пусть и Тогда
Опять, поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 0 различны, то предела данной функции в 0 не существует.