16. Асимптоты вертикальные, наклонные, горизонтальные, вычисление коэфицентов, графическая иллюзия.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

17. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Пределы сложной функции. Классификация точек разрыва.

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе: 

   Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство  .

 

  Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной. f(x) = f(x₀) + a(x) где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

 Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций  – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

  3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Сложные функции

 ( Один из способов задания функции )

         Пусть заданы две функции  ,   , причем область задания функции F содержит область значений функции  , тогда   из этой области определения   ставится в соответствие  , где  . Эта функция, определенная соответствием  , называется сложной функцией, или суперпозицией функций   и F.

Примеры:   1.  ;       2.  .       - явно задана.

Классификация точек разрыва функции

  Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х₀ не является непрерывной.   Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.   Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.   Так для функции в точке х = 0 односторонние пределы равны , то х = 0 является точкой разрыва второго рода

Основные правила нахождения пределов

Предел постоянной величины равен постоянной величине:

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел разности равен разности пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел отношения равен отношению пределов:

Предел функции в степени:

Предел корня из функции:

Свойства пределов функции 

         Пусть все функции,  рассматриваемые  ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки  х_о Î (а, в), тогда верны следующие свойства:

1.  Если  j ( х ) £ ¦ ( х) £ y ( х )       и

     А =     =     Þ    = A.

2.  Если   ¦(х) =  С (сonst) Þ   ¦(x) =  C .

3.  Если       cущ.  Þ"с - const

     

4.  Если   существуют конечные пределы      и    , тогда:

     а)   ;

     б)    ;

     в)     =   .

         Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов  последовательностей.  Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций