14. Энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника. Энергия эл. Поля. Плотность энергии эл. Поля.
Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме на расстоянии r12 друг от друга можно вычислить по:
Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q1, q2,..., qn.
Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:
.
Как известно, заряд сосредоточивается на поверхности проводника, причем поверхность проводника эквипотенциальна. Разбивая эту поверхность на маленькие участки, каждый из которых имеет заряд Δq, и учитывая, что потенциал в месте расположения каждого из зарядов одинаков, имеем
|
(6.7) |
Так как емкость проводника C=q/φ , то выражение (6.7) может быть также представлено, как
|
(6.8) |
Как известно («Физика 9», § 55), чтобы зарядить конденсатор, необходимо совершить некоторую работу. Эта работа требуется для преодоления сил электростатического притяжения, возникающих при разделении положительных и отрицательных зарядов. За счет совершенной работы в конденсаторе запасается потенциальная электростатическая энергия
,
(1)
где U — разность потенциалов между обкладками, С — емкость конденсатора, Q — заряд на его обкладках.
Энергия
электрического поля. Энергию
заряженного конденсатора можно выразить
через величины, характеризующие
электрическое поле в зазоре между
обкладками. Сделаем это на примере
плоского конденсатора. Подстановка
выражения для емкости в формулу для
энергии конденсатора дает
Частное U / d равно
напряженности поля в зазоре;
произведение S·d представляет
собой объем V,
занимаемый полем. Следовательно,
Если
поле однородно (что имеет место в плоском
конденсаторе при расстоянии d
много
меньшем, чем линейные размеры обкладок),
то заключенная в нем энергия распределяется
в пространстве с постоянной плотностью w.
Тогда объемная
плотность энергии электрического
поля равна
C
учетом соотношения 
можно
записать
В
изотропном диэлектрике направления
векторов D и E совпадают
и 
Подставим
выражение 
,
получим
Первое
слагаемое в этом выражении совпадает
с плотностью энергии поля в вакууме.
Второе слагаемое представляет собой
энергию, затрачиваемую на поляризацию
диэлектрика. Покажем это на примере
неполярного диэлектрика. Поляризация
неполярного диэлектрика заключается
в том, что заряды, входящие в состав
молекул, смещаются из своих положений
под действием электрического поляЕ.
В расчете на единицу объема диэлектрика
работа, затрачиваемая на смещение
зарядов qi на
величину dri,
составляет
Выражение
в скобках есть дипольный момент единицы
объема или поляризованность диэлектрика Р.
Следовательно, 
.
Вектор P связан
с вектором E соотношением 
.
Подставив это выражение в формулу для
работы, получим
Проведя
интегрирование, определим работу,
затрачиваемую на поляризацию единицы
объема диэлектрика
.
Зная
плотность энергии поля в каждой точке,
можно найти энергию поля, заключенного
в любом объеме V.
Для этого нужно вычислить интеграл:
