3.Метод вычисления напряженности. Применение принципа суперпозиции для вычисления электрических полей неточечных зарядов. Напряжённость электрического поля точечного заряда

Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона

или

.

.

Исторически закон Кулона был открыт первым, хотя с теоретической точки зрения уравнения Максвелла более фундаментальны. С этой точки зрения он является их следствием. Получить этот результат проще всего исходя из теоремы Гаусса, учитывая сферическую симметрию задачи: выбрать поверхность S в виде сферы с центром в точечном заряде, учесть, что направление   будет очевидно радиальным, а модуль этого вектора одинаков везде на выбранной сфере (так что E можно вынести за знак интеграла), и тогда, учитывая формулу для площади сферы радиуса r:  , имеем:

откуда сразу получаем ответ для E.

Ответ для   получается тогда интегрированием E:

Одной из основных задач электростатики является оценка параметров поля при заданном, стационарном, распределении зарядов в пространстве. Один из способов решения подобных задач основан на принципе суперпозиции. Суть его в следующем.

       Если поле создается несколькими точечными зарядами, то на пробный заряд q действует со стороны заряда qk такая сила, как если бы других зарядов не было. Результирующая сила определится выражением:

– это принцип суперпозиции или независимости действия сил.

       Т.к.   , то   – результирующая напряженность поля в точке, где расположен пробный заряд, так же подчиняется принципу суперпозиции:

(1.4.1)

       Это соотношение выражает принцип наложения или суперпозиции электрических полей и представляет важное свойство электрического поля. Напряженность результирующего поля, системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из них в отдельности.

       Рассмотрим применение принципа суперпозиции в случае поля, созданного электрической системой из двух зарядов с расстоянием между зарядами, равными l (рис. 1.2).

  Рис. 1.2

       Поля, создаваемые различными зарядами, не влияют друг на друга, поэтому вектор   результирующего поля нескольких зарядов   может быть найден по правилу сложения векторов (правило параллелограмма)

.

,   и  , так как задача симметрична.

       В данном случае

            и            

Следовательно,

4.Поток напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Примеры применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора   аналогично понятию потока вектора скорости   при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора   на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором   и нормалью   к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 4.3.1):

 

ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS,

где   – модуль нормальной составляющей поля   

1

Для вывода теоремы Остроградского–Гаусса необходимо ввести такие важные вспомогательные понятия, как вектор электрической индукции   и поток этого вектора Ф.

Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Предположим, что мы определяем напряжённость в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха( =1) и воды ( =81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле   уменьшится в 81 раз. Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости   на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства. Чтобы избежать их, вводится новый вектор  , который называется вектором электрической индукции: 

Вектор электрической индукции равен произведению вектора   на электрическую постоянную   и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке .

Очевидно, что при переходе через границу двух диэлектриков число линий электрической индукции не изменяется для поля точечного заряда 

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность   заряда в любой точке сферы будет одинакова.

1. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

(13.8)

2. Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать

(13.9)

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью . 

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда   , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом  , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где - диэлектрическая проницаемость внутри шара.

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью   .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса   Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

(13.14)

5. Работа сил электростатического поля по перемещению точечного заряда. Потенциальность электрического поля. Циркуляция напряженности. Выражение работы через разность потенциалов и потенциала через работу.

Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила  F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E, dl).

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

 

Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: φ = W / q = const - энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле. Потенциалом электростатического поля называют саклярную физическую величину, равную отношению потенциальной энергии заряда в поле к модулю этого заряда: φ = W_п / q = const Потенциал однородного поля: φ = W_п / q = -E_xx + C Значение потенциала в данной точке зависит от выбора нулевого уровня для отсчёта потенциала. Этот уровень выбирают произвольно.

Разность потенциалов (напряжение) между двумя точками равна отношению работы поля при перемещении заряда из начальной точки в конечную к модулю этого заряда: U = φ₁ - φ₂ = -Δφ = A / q, A = -(W_п2 - W_п1) = -q(φ₂ - φ₁) = -qΔφ

Разность потенциалов измеряется в вольтах (В = Дж / Кл) Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов: E_x = Δφ / Δx Напряжённость электростатического поля направлена в сторону убывания потенциала. Измеряется в вольтах, делённых на метры (В / м).