Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Преобразование координат при переходе к новому базису

1) Дано:

Записать вектор в базисе векторов . Решение: Чтобы векторы образовывали базис нужно, чтобы они были некомпланарны, т.е. их векторное произведение (объем параллелепипеда на векторах) не равнялось нулю.

Вектор в старом базисе:

В новом:

Старые координаты связаны с новыми

Решив эту систему с помощью обратной матрицы, найду координаты вектора в новом базисе Матрица, связывающая старые и новые координаты:

Новые и старые координаты связаны отношением: b=Bb^I b – матрица старых координат; B – матрица, связывающая координаты старые и новые; B^I – матрица новых координат. Отсюда: b^I=B^-1b Найду обратную матрицу B^-1.

Определитель ≠0 , значит обратная матрица существует. Найду алгебраические дополнения:

12. Элементарные преобразования в матричном виде. Теорема о ранге матрицы.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу , ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). Если , то .

Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

• перестановку уравнений;

• умножение уравнения на ненулевую константу;

• сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

Теорема о ранге.

Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение 4.4. Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).

В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

Замечание. Можно доказать, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости строк матрицы является то, что одна из них является линейной комбинацией остальных.

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер — k) и любой столбец матрицы (пусть его номер — j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

Поскольку является базисным минором, поэтому, разделив полученное равенство на , найдем, что

для всех j=1,2,…,n, где . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.

Совместность линейных систем.

Определение 4.5. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение 4.6. Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Назовем расширенной матрицей системы (2.2) матрицу вида

, а матрицей системы — матрицу из коэффициентов при неизвестных.