1. Операции над множествами. Простейшие св-ва и примеры.
1. Объединение Х и Y (множество состоящее из элементов, принадлежащих множеству Х или Y),т.е.
С = ХÈУ= {x: xÎХ или xÎY}
2. Пересечение Х и Y (множество, состоящее из элементов принадлежащих множеству Х и множеству Y) C = ХÇY = {x : x ÎХ и xÎY}
3. Разность Х и У (множество, состоящее из элементов принадлежащих Х и не принадлежащих У) C = Х \ У= {x : xÎХ и xÏY}
4. Прямое произведение Х и У (множество состоящее из упорядоченных пар двух элементов C = Х*У = {(х, у) : х ÎХ, у ÎУ}
А+В = В+А
(A+B)+C = A+(B+C)
λ(A+B) = λA + λB
A*(B+C) = A*B + A*C
(A+B)*C = A*C + B*C
λ(A*B)=(λA)*B=A*(λB)
7) А*(В*С)=(А*В)*С - ассоциативность
2. Ассоциативность умножения матриц
Пусть А , В и С – три матрицы, для которых произведения АВ и ВС имеют смысл. Тога произведения АВ и ВС имеют также имеют смысл и имеет месте равенство:
(АВ)С=А(ВС)
3. Некоммутативность умножения матриц
Для матриц вообще говоря
А*В ≠ В*А
4. Многочлен от матрицы.
Если А - квадратная матрица n-го порядка и
- многочлен m – й степени с вещественными коэффициентами, то выражение
называется многочленом от матрицы А
5. Транспонирование матриц. Единичная матрица. Простейшие св-ва и примеры.
Транспонирование матриц – замена строк матрицы на её столбцы, а столбцов – на строки.
Единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули.
А*E=E*A=A
Определители.
8.Определителем матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу.
Св-ва:
1.Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на этот коэффициент.
2.Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.
3.Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).
4.При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.
5.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
6.Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю
7.Если в определителе некоторая строка есть сумма двух других строк, то определитель равен сумме двух определителей с этими строками, а все остальные строки этих определителей равны строкам исходного определителя.
8.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится.
9.Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
10.Алгоритм вычисления определителя. Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду. Вычисляется определитель полученной матрицы с учетом сделанных преобразований.
11.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю
12.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю
14.Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся диагональными клетками исходной матрицы.
15.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.