7. Теория перестановок.

-Мы говорим, что два числа образуют инверсию, если большее число из нашей пары предшествует меньшему. Число пар, образующих инверсию, называется числом инверсий перестановки.

-Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий, и называется нечетной в противном случае.

-При выполнении одной транспозиции перестановка переходит в перестановку проти

12. Элементарными преобразованиями над строками (столбцами) матрицы называют:

1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля,

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число,

3) перемена местами двух строк (столбцов).

воположного наименования, т.е. четная – в нечетную и наоборот.

15. Алгебраическим дополнением Аi j элемента аi,j называется следующий определитель n-го порядка

Разложение определителя по строке – определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. ( а11 А11+а12 А12 и т д)

16. Минором M_{i j} элемента матрицы a_i,j определителя n-го порядка, называется определитель(n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i- й строки и j-го столбца.

справедливо равенство:

17. Минор r-го порядка матрицы.

Пусть А=(а_i,j) произвольная матрица. В данной матрице выбираем произвольные r строк и r столбцов и строим из них квадратную матрицу размера r*r. Определитель такой матрицы и называется минором r-го порядка матрицы А.

18. Рангом r матрицы А=(a_i,j) называется целое число r, такое, что среди миноров r-го понядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или их нет.

Св-ва:

• если к матрице приписать строку или столбец из нулей, то ранг исходной матрицы не изменится.

• если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры (k+1)-го порядка (если они существуют).

• при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Алгоритм вычисления ранга матрицы – приведение к верхне треугольному виду.

23. Взаимная матрица

- матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

24. Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется обратимой – если найдется квадратная матрица В, что выполняются равенство A*B=B*A=E

В этом случае матрица B назывется обратной к матрице А и обозначается B = A ^-1

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. А - невырожденная матрица. При этом:

25. Определитель Вандермонда.

Матричный вид данных равенств:

26. Решением (одним) СЛУ называется последовательность чисел

удовлетворяющая всем уравнениям системы

Матричная запись

СЛУ называется СОВМЕСТНОЙ, если у неё имеется хотя бы одно решение, в противном случае СЛУ называется НЕСОВМЕСТНОЙ.

Совместная СЛУ называется ОПРЕДЕЛЁННОЙ, если она имеет одно единственное решение и НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ в противном случае.

Две системы называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если их множество решений совпадают.

27. Метод Гаусса решения СЛУ

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы данной СЛУ элементарными преобразованиями над строками, к некоторому специальному виду (почти трапециевидному)- прямой ход схемы Гаусса, и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной)-обратный ход схемы Гаусса.

28. Теорема Кронекер-Капелли

Система линейных уравнений совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы

*На «языке» векторных пространств:

СЛУ совместна тогда и только тогда, когда подпространство порождённое столбцами матрицы коэффициентов совпадает с подпространством, порождённым столбцами расширенной матрицы системы,

29. Теорема о числе решений

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .

Тогда:

1. если r = n , то система имеет единственное решение;

2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

30. Однородные СЛУ

Пусть дана однородная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .

Тогда:

1. Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых (n - r) решений.

2. Множество всех решений однородной СЛУ образует подпространство в пространстве Rⁿ размерности (n – r).

32. Обратная матрица. Способ нахождения решением матричной задачи.

+ см. билет №24

33. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Рассматривается n отраслей, каждая из которых

производит свою продукцию.

Пусть x_i - общий (валовый) объем продукции i-й

отрасли;

x _ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й

отраслью в процессе производства; y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для

непроизводственного потребления.

Уравнение межотраслевого баланса:

Рассматриваем стоимостной межотраслевой баланс.

Определим матрицу коэффициентов прямых затрат:

Эквивалентные формулировки уравнения межотраслевого

баланса.

ЗАДАЧА 3. (Основная).

Дана матрица А - прямых затрат и вектор Y –

конечного продукта. Найти вектор валового выпуска X?

РЕШЕНИЕ:

1-й способ.

Решение СЛУ (Е-А)X=Y

2-й способ.