34. Продуктивные матрицы в модели Леонтьева.

Матрица прямых затрат модели Леонтьева называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора конечного выпуска найдётся неотрицательный вектор валового выпуска с данной матрицей прямых затрат.

ТЕОРЕМА: Модель Леонтьева с неотрицательной матрицей

А – продуктивна тогда и только тогда, когда существует

неотрицательная матрица, обратная к матрице (Е – А).

Пример 1. Дано уравнение межотраслевого баланса.

Найти: 1. Матрицу А - прямых затрат.

2. Вектор валового выпуска, если конечный продукт

1-й отрасли должен увеличиться вдвое, а 2-й – на

20%?

РЕШЕНИЕ:

36. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Пусть дана квадратная матрица А размера n на n.

Собственным числом матрицы А называется такое число

λ (R) , для которого выполняется следующее условие:

При этом столбец называется собственным

вектором матрицы А, соответствующим собственному

числу

Пусть дана квадратная матрица А размера n на n.

Характеристическим многочленом матрицы А называется

следующий многочлен:

Св-ва:

37. Условия бездефицитной торговли

ТЕОРЕМА.

Пусть А – структурная матрица торговли, а X – вектор

бюджетов торгующих стран.

Тогда условием бездефицитной торговли является следующее равенство:

АX=X

т.е. вектор X должен быть собственным вектором матрицы

А для собственного числа 1.

38. Пример нахождения отношений бюджетов стран для сбалансированности их медж. торговли.

Дана структурная матрица торговли. Найти соотношения бюджетов торгующих стран при условии, что торговля будет бездефицитной. РЕШЕНИЕ: Находим собственные векторы структурной матрицы торговли для собственного числа, равного 1.

из условия без дефицитности следует:

Векторные пространства

39. Определение и примеры векторных пространств.

Векторным или линейным пространством V над полем F=(R) называют множество объектов V , в котором определено действие «сложения» элементов и действие «умножения» на элементы поля F, причем выполняются условия:

пример пр-ва высоты n

пр-во матриц размера m*n

40. Подпространства в векторных пр-вах.

• Векторным подпространством пространства V над полем F=(R) называют подмножество U из V , замкнутое относительно действий «сложения» и «умножения» на скаляр, определённых в V.

Подпространством порожденным векторами e₁, e₂, … e_n (V) называют подмножество U всех линейных комбинаций этих векторов, т. е.

42. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов.

-Линейной комбинацией векторов e₁, e₂, …e_n (V) называют вектор X = α₁e₁+ α₂e₂+ α_ne_n (V)

при некоторых α₁, α₂, α_n (R)

Пример линейной комбинации векторов

• Совокупность векторов

называется линейно зависимой (ЛЗС), если найдутся не равные нулю одновременно числа

, что выполняется равенство:

В противном случае, эти векторы e1, e2, en называются линейно независимыми.