Алгебраические структуры

1. Множества. Декартово произведение и декартова степень. Отображения множеств. Алгебраические операции. Примеры.

Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита , а элементы множества- строчными.

Приведем примеры множеств.

Классы (множества) чисел: N – натуральные числа, Z – целые числа, Q- рациональные числа, R- действительные (вещественные) числа, C – комплексные числа.

Студенты одной группы – множество, элементы которого- студенты, общее свойство – обучение одной специальности.

Множество В – корни уравнения ½ = cosx . Элементы – вещественные числа, общее свойство – обращают данное уравнение в верное равенство.

Если х – элемент множества Х, то говорят: х принадлежит Х и пишут : хХ. Если х не принадлежит Х, то пишут хХ.

С видами множеств вы знакомились при изучении элементов высшей математики, поэтому лишь напомним их : конечные множества, бесконечные, пустые, универсальные.

Конечные и бесконечные множества в свою очередь подразделяются на неупорядоченные и упорядоченные; неупорядоченные бесконечные – на счетные и несчетные.

Операции над множествами

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Определение 1. Объединением двух множеств называется новое множество

Определение 2. Пересечением двух множеств называется новое множество

Определение 3. Разностью двух множеств называется новое множество

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то дополнением множества называют разность

Декартово произведение множеств

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Пусть и - множества. Выражение вида , где и , называется упорядоченной парой. Равенство вида означает, что и . В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку из элементов . Упорядоченные n-ки иначе называют наборы или кортежи.

Определение 4. Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

Определение 5. Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение

.

Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.

Декартова степень

-я Декартова степень множества определяется для целых неотрицательных , как -кратное Декартово произведение на себя:

2. Группы, кольца, поля. Определения и примеры. Кольца из 2-5 элементов. Область целостности.

3. Комплексные числа. Определение, нормальная форма. Поле комплексных чисел.

Введение понятия комплексного числа. Представление комплексного числа на плоскости

Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. В результате расширения множества действительных чисел было введено понятие мнимой единицы , которая существует на множестве комплексных чисел, но не существует на множестве действительных. Мнимая единица удовлетворяет равенству:

.

(1)

В литературе часто мнимую единицу обозначают через . Тогда комплексное число можно представить в виде:

,

(2)

где носит название действительной части или реальной части и обозначается , а носит название мнимой части и обозначается как . Графически все множество действительных чисел можно представить на бесконечной числовой прямой, при этом комплексные числа можно трактовать как расширение числовой прямой до комплексной плоскости, а каждое комплексное число можно представить как точку на комплексной плоскости (смотри рисунок 1). При этом все множество действительных чисел будет представляться прямой на комплексной плоскости.

Рисунок 1: Представление комплексного числа на плоскости

Комплексная плоскость делится прямыми реальной части (прямой действительных чисел) и прямой мнимых чисел на четыре четверти. Любое комплексное число ,будет представляться точкой на комплексной плоскости с координатами и . Если число не содержит мнимой части, то оно действительное и находится на прямой , а если число не содержит реальной части, то оно называется чисто мнимым и находится на оси .

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6.существует нейтральный элемент относительно сложения: ;

7.существует нейтральный элемент относительно умножения: .

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел .

производится отождествление комплексного числа с вещественным числом . Результатом этого является следующая нормальная форма записи комплексного числа

Для числа получаем одно определяющее равенство:

Из соображений упрощения записи, договорились число записывать просто в виде , а числа и записывать в виде и .

Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме,можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных чисел:

а затем воспользоваться равенством :

Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.

Если — целое число, то число

называется -й степенью числа .

Для вычисления при и можно применить формулу бинома Ньютона:

Определение 1. Алгебраическое расширение поля действительных чисел с помощью элемента , являющегося корнем многочлена , называется полем комплексных чисел¹⁾. Поле комплексных чисел обозначается через .

Предложение 1. Каждое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, являющееся двумерным векторным пространством над полем , изоморфно полю .

Теорема 1.(Основная теорема алгебры.) Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Определение 2. Полем комплексных чисел называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел . При этом каждая такая пара называется комплексным числом²⁾. Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости . Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу

для всех ,

и определим операцию умножения:

для всех .