- •Лекция 1
- •Мир не линеен и поэтому сложен.
- •Основное свойство:
- •Линейное свойство:
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 6 лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •Лекция 10 лекция 11
- •Свойства подобных матриц.
- •Лекция 12
- •Лекция 13 лекция 14
- •Лекция 15
- •Лекция 16
- •Программа по линейной алгебре для студентов 1 курса физического факультета
- •I. Матрицы и определители
- •II. Линейные пространства
- •III. Системы линейных уравнений
- •IV. Евклидовы и унитарные пространства.
- •V. Линейные операторы в конечномерном пространстве.
- •VI. Билинейные и квадратичные формы. Функции от матриц.
- •Д.К.Фаддеев ”Лекции по алгебре” 2005г.
- •1. Проскуряков м.В.: - Сборник задач по линейной алгебре
- •2.Фаддеев д.К., Соминский и.С.: - Задачи по высшей алгебре
Мир не линеен и поэтому сложен.
Функция. Когда мы говорим о функции, всегда подразумеваем следующую запись:
, где
Функция – это всегда отображение одного множества в другое множество. Следовательно, задать функцию можно с помощью задания отображения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если для каждого элемента , принадлежащего множеству , поставлен в соответствие некоторый элемент , принадлежащий множеству , то говорят, что на множестве задана некоторая функция со значениями на множестве .
Символически это можно записать так .
Или, , то существует .
Итак, функция задана, если множество отображается в множество посредством .
Функция
В математике исторически сложились синонимы понятия функция: |
|
Греция, 3 век до р.х. Легенда.
Вызвал к себе царь Евклида, написавшего 15 книг по математике и говорит:
“Слушай, разве подобает мне, царю, изучать все эти 15 книг. Как царь, я должен знать геометрию, но твой путь очень длинен для меня. Я повелеваю тебе указать в изучении геометрии Царский путь, более короткий для меня”.
Евклид ответил: “К сожалению, в науке нет царских путей. Как все смертные,
ты царь, если хочешь постичь геометрию, должен пройти
весь длинный путь, указанный мной в «Началах геометрии»”.
Лекции, семинары, изучение теории, решение задач и самостоятельная работа – вот путь студента в университете.
Матрицы и операции над матрицами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Прямоугольная таблица чисел , состоящая из - строк и - столбцов, называется матрицей порядка .
Матрица , в которой - строк и – столбцов с элементами :
- элемент матрицы, .
Матрицами порядка являются строки Матрицами порядка являются столбцы
В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело с матрицами порядка , т.е. квадратными матрицами -го порядка.
Примеры простейших матриц: нулевая , единичная , диагональная, треугольная, блочная и т.д.
Задание – запишите примеры этих матриц.
При введении обычных операций сложения и произведения матриц исходят из следующего основного требования – результат сложения и произведения матриц должен быть матрицей. При этом необходимо учитывать, что не всякие матрицы можно сложить и перемножить между собой, т.е. имеются ряд ограничений. Например, сложение определено для матриц одинакового порядка, произведение двух матриц определено для случая, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. В линейной алгебре, кроме обычных операций сложения матриц, произведения матриц, произведения матрицы на число, вводятся и другие очень важные операции: транспонирование; прямая сумма; след матрицы; определитель матрицы; нахождение обратной матрицы; эрмитово сопряжение и др.
Операции над матрицами.
Сложение матриц порядка :
, где
Свойства операции сложения:
Умножение матрицы на число:
, где
Свойства операции умножения:
Произведение матриц и ,
, где элементы матрицы :
Это правило «читается» следующим образом: элемент равен сумме произведений элементов ой строки первой матрицы умноженныt на элементы го столбца второй матрицы.
Очевидно, что произведение матриц не коммутативно. В общем случае . Если , то говорят, что матрицы и коммутативны. Произведение матриц ассоциативно и дистрибутивно (см. ниже свойства).
Свойства операции произведения:
Для квадратных матриц можно определить такие операции произведения, как произведение Ли и произведение Иордана:
- произведение Ли, или коммутатор.
- произведение Иордана, антикоммутатор
Транспонирование.
Рассмотрим матрицу . Выполним над строками матрицы следующую операцию транспонирования – строки матрицы запишем столбами некоторой матрицы , которую назовем транспонированной, по отношению к матрице :
, .
Символ , стоящий над матрицей справа, указывает на выполнение над матрицей операции транспонирования, или просто, ее транспонирование. Транспонирование можно применять к матрицам любого порядка.
Свойства операции транспонирования:
Для квадратных матриц выполняется ряд свойств. Пусть матрица и ее транспонированная совпадают, . Такая матрица называется симметричной. Элементы симметричной матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой т.е. .
Если матрица противоположна своей транспонированной, , то такая матрица называется антисимметричной (другое название -кососимметричной). Элементы антисимметричной матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, противоположны , а элементы главной диагонали равны нулю .
Задача 1. Докажите свойство .
Задача 2. Докажите, что всякую квадратную матрицу можно представить в виде суммы симметричной и антисимметричной матрицы: , где - симметричная матрица, -антисимметричная матрицаэ
Задача 3. Докажите, что всякую функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
След матрицы. Введем еще одну числовую функцию – след матрицы. Обозначается след матрицы символом .
Определение. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется следом матрицы:
Свойства следа произведения матриц:
Прямая сумма матриц.
Рассмотрим матрицы и порядка . Определим прямую сумму этих матриц. Прямая сумма обозначается символом - знак сложения в круге.
Итак: , где матрица имеет следующий вид
.
Следовательно, матрица будет иметь порядок . Очевидно,
,
т.е., результат вычисления прямой суммы зависит от порядка следования матриц и при сложении. Таким образом, операция вычисления прямой суммы не перестановочна (не коммутативна).
Следует отметить, что матрица имеет блочную структуру, в данном случае матрица имеет блочно-диагональный вид: по главной диагонали расположены матрицы и , а по второстепенной (не главной) – нулевые матрицы .
ЛЕКЦИЯ 2
Определитель матрицы. Минор и алгебраическое дополнение. Теорема 1. Лапласа, Теорема 2. О . Обратная матрица.
-
“Можно понять математику, когда она есть, но из понятия математика не вытекает ни одно математическое понятие”
Определитель матрицы.
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое символом .Следовательно, на множестве квадратных матриц мы можем задать числовую функцию. Символически числовая функция записывается так:
,
где - множество квадратных матриц порядка . Заметим, что у прямоугольных матриц определитель не существует (определить невозможно).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определителем матрицы называется число, которое сопоставляется каждой матрице по некоторому правилу вычисления.
Существуют два правила вычисления определителя матрицы.
1-ое правило вычисления.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка с элементами . Правило вычисления определителя матрицы при разложении по 1-ой строке имеет вид:
.
При разложении по -ой строке:
Разложение по j-ому столбцу:
Таким образом, вычислять определитель можно путем разложения, как по строкам, так и по столбцам.
В формуле вычисления определителя величина называется минором с чертой элемента . Минор с чертой это определитель матрицы , у которой вычеркнуты (т.е. удалены) -ая строка и -ый столбец.
Введем величину . Эта величина называется алгебраическим дополнением элемента . Определитель матрицы можно записать через алгебраическое дополнение:
Пример определителя матрицы 2-го порядка:
2-ое правило вычисления.
Суммирование проводится по всем индексам от 1 до , причем индексы не должны совпадать ( -кратная сумма). Комбинация индексов в величине считается начальной комбинацией, для которой . Все остальные комбинации индексов получаются из начальной путем перестановки индексов, причем при четном числе перестановок величина , при нечетном - .
Для матрицы 3-го порядка определитель равен
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица , у которой называется вырожденной. Если , то называется невырожденной.
Рассмотрим миноры 2-х типов - миноры с чертой и миноры без черты.
Минор с чертой: - это определитель матрицы , у которой вычеркнуты строки и столбцы .
Минор без черты: - это определитель матрицы, составленной из элементов матрицы , стоящих на пересечении строк и столбцов .
Здесь индекс .
ТЕОРЕМА 1. Лапласа (1749-1827). Для любых строк и столбцов (причем ) имеем
Теорема без доказательства.
Свойства определителей.