Лекция №1

Вторичное квантование

Необходим для описания систем с переменным числом частиц.

Пусть Ψ₁ (ξ), Ψ₂ (ξ), … – некоторая полная ортонормированная система волновых функций стационарных состояний одной частицы (ξ – набор координат и проекций спина)

Обычно это плоские волны – волновая функция свободной частицы с определенными значениями импульса и проекций спина.

Обычно для сведения спектра состояний к дискретному, рассматривают движение частиц в большом объеме V.

В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности.

Тем самым сохраняются и числа заполнения состояний – числа N₁, N₂, …, указывающие, сколько частиц находится в каждом из состояний Ψ₁, Ψ₂, …

В системе взаимодействующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются и числа заполнения.

Для такой системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различных значений чисел заполнения.

Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спина) играют роль независимых переменных.

В таком аппарате состояние системы описывается «волновой функцией в пространстве чисел заполнения», которую мы обозначим как Ф(N₁, N₂, …,t).

Обычная координатная функция обозначается Ψ(ξ₁, ξ₂,…,t)

Тогда и операторы различных физических величин должны формулироваться в терминах их воздействия на функции чисел заполнения.

Теперь рассмотрим вопрос с другой стороны. Пусть имеется система бозонов.

Рассмотрим преобразование уравнения Шредингера в представлении чисел заполнения

Пусть имеем одночастичный гамильтониан

Волновую функцию можно представить в виде суперпозиции волновых функций свободного состояния

Где mi – совокупность квантовых чисел частицы, характеризующих состояние одной частицы и кратко называемых уровнем (три компоненты импульса и спина). Тогда матричные элементы есть

Уравнение Шредингера преобразуется стандартным образом и даст уравнение для определения коэффициентов

Интерпретация правой части хорошо известна. Гамильтониан определяет переходы частицы j с уровня на уровень , а эволюция во времени определяется суммой всевозможных переходов этого типа. Амплитуда вероятности каждого перехода представляет собой матричный элемент гамильтониана.

Теперь выразим эту же мысль в представлении чисел заполнения.

До перехода имелось частиц на уровне и частиц на уровне .

После перехода число частиц на уровне стало равным , а на уровне стало равным . Этот процесс можно изобразить как уничтожение частицы на уровне и рождение частицы на уровне .

Теперь рассмотрим это описание на рис.

Оператор уничтожения

Или можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть

Сопряженный оператор _i⁺ изображается матрицей с единственным элементом

Это означает, что при воздействии на функцию он увеличивает число на 1.

Оператор рождения

Вычислим произведения операторов

_i⁺ _i – такой оператор может лишь умножить волновую функцию на константу, оставляя все переменные N₁, … неизменными.

Можно показать, что _i⁺ _i= и _i⁺ _i =

Аналогичным образом найдем _{i i}⁺=

Разность этих элементов дает правило коммутации _{i i}⁺ - _i⁺ _i = 1

Операторы же с различными индексами , действующие на различные переменные, коммутативны

Аналогично можно получить обобщение и на симметричные по всем частицам операторы любого другого вида. Таким образом, гамильтониан системы взаимодействующих частиц есть

Одночастичный гамильтониан есть

Для системы невзаимодействующих частиц имеем

Поэтому

Так как , то получим очевидный результат

Теперь представим формализм вторичного квантования в координатном представлении. Введем в рассмотрение так называемые – операторы.

( – волновые ортонормированные функции)

Вторично квантованные операторы

Переменные рассматриваются как параметры

Аналогия: – разложение произвольной функции по базису – отсюда название «вторичное квантование»

– уменьшает число частиц на единицу в точке

– увеличивает число частиц на единицу в точке

Гамильтониан перепишется в виде:

Далее:

Оператор – оператор плотности числа частиц, так как

– оператор полного числа частиц.

Проверка: подставив в определение , получим