Сверхтекучесть.

Квантовая жидкость со спектром вышеуказанного типа должна обладать свойством сверхтекучести.

Начнем рассмотрение при .

При этой температуре жидкость находится в своем нормальном, невозбужденном состоянии.

Пусть жидкость протекает по капилляру с постоянной скоростью . Наличие вязкости приводило бы к тому, что постепенно жидкость замедлила скорость и, в конечном счете, прекратилось движение.

Нам будет удобно рассматривать течение в системе координат, движущейся вместе с жидкостью. В этой системе гелий покоится, а стенки капилляра движутся со скоростью ( ). При наличии вязкости покоящийся гелий тоже должен бы начать двигаться. Физически очевидно, что увлечение жидкости стенками трубки не может привести с самого начала к движению жидкости как целого. Появление движения должно начаться с постепенного возбуждения внутренних движений, т.е. с появления в жидкости элементарных возбуждений.

Предположим, что в жидкости появляется одно элементарное возбуждение с импульсом и энергией . Тогда энергия жидкости (в системе, где она первоначально покоилась) сделается равной энергии этого возбуждения, а её импульс – импульсу . Перейдем теперь обратно к системе координат, в которой покоится капилляр. Согласно формулам механики имеем

Где – масса жидкости. Подставляя , вместо , получим

Член представляет собой первоначальную кинетическую энергию движущейся жидкости. Выражение ( ) есть изменение энергии благодаря появлению возбуждения. Это изменение должно быть отрицательно, т.к. энергия движущейся жидкости должна уменьшаться

При заданном значении , левая часть имеет минимальное значение при антипараллельных , поэтому должно быть (это условие появления элементарных возбуждений)

Тогда при получаем, что элементарных возбуждений нет, т.е. наблюдаем сверхтекучесть.

Таким образом, к сверхтекучести приведет всякий спектр, в котором достаточно малые возбуждения являются фононами.

Рассмотрим теперь ту же жидкость при (вблизи нуля). В этом случае жидкость не находится в основном состоянии – она содержит возбуждения. Приведенные выше соображения остаются в силе (нигде не было непосредственно использовано обстоятельство, что жидкость находилась первоначально в основном состоянии). Движение жидкости со скоростью не может привести к появлению в ней новых элементарных возбуждений. Однако, что будет с уже существующими возбуждениями?

Для этого проведем следующие вычисления. Представим себе, что «газ квазичастиц» движется как целое относительно жидкости поступательно (сквозь жидкость) со скоростью . Функция распределения для движущегося как целое газа, получается из функции распределения «неподвижного» газа путем замены энергии частицы величиной , где – импульс частицы. Поэтому полный импульс газа (отнесенный к единице объема) будет

Предположим, что скорость мала и разложим подынтегральное выражение по степеням . Член нулевого порядка исчезает при интегрировании по направлениям вектора , и остается

Проводя интегрирование по направлениям вектора , получим

Для фононов и выполняя интегрирование по частям, получим

Учтем, что

Представляет собой энергию единицы объема фононного газа, так что

Прежде всего мы видим, что движение «газа квазичастиц» сопровождается переносом некоторой массы: эффективная масса единицы объема газа – коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью . С другой стороны, при течении жидкости по капилляру ничто не мешает «частицам» этого газа сталкиваться со стенками трубки и обмениваться с ними импульсом.

В результате «газ возбуждений» (существующий при ) будет остановлен, как это произошло бы со всяким обычным газом, протекающим по капилляру.

Таким образом, приходим к выводу: при часть массы жидкости будет вести себя как всякая нормальная жидкость, «цепляющаяся» при движении о стенки сосуда; остальная часть массы будет вести себя как не обладающая вязкостью сверхтекучая жидкость. При этом, между этими движущимися друг через друга частями массы жидкости «нет трения», т.е. не происходит передачи импульса от одной из них к другой.