Ф ононы в одномерном кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке.

положение элементарных ячеек определяется вектором решетки .

Смещение атомов из равновесных положений 0, в элементарной ячейке с вектором обозначим и

Кинетическая энергия имеет простой вид

В гармоническом приближении

Периодические граничные условия есть

Далее та же процедура, что и ранее. Разница заключается в том, что теперь имеется две частоты

Где приведенная масса двух атомов.

Две функции определяют частоту двух ветвей колебаний.

В длинноволновом приближении эти функции имеют вид

Функция совпадает с прежней (частота акустических волн в решетке с одним атомом в элементарной ячейке, если его масса равна ( )). Поэтому называют акустической ветвью колебаний.

Функция характеризует колебания, частоты которых не стремятся к нулю при приближении вектора к центру зоны Бриллюэна. Они определяют оптическую ветвь колебаний.

Если , то при приближении к границе зоны Бриллюэна ( ) обе функции достигают максимального значения

Дальнейший анализ показывает, что для акустической ветви атомы в элементарной ячейке колеблются в одинаковых направлениях.

В оптической ветви они совершают колебания в противоположных направлениях.

К чему это приводит:

В ионных кристаллах в элементарную ячейку входят ионы с противоположными зарядами. Поэтому оптические колебания связаны с большим изменением электрического дипольного момента ячейки. Они определяют оптические свойства кристалла в данной области частот. Отсюда и название этой ветви колебаний.

Фононы в трехмерном кристалле

1. Один атом в элементарной ячейке. Имеется три ветви акустических колебаний.

Если кристалл обладает кубической сингонией, то одна из ветвей соответствует продольным колебаниям, две – поперечным.

В изотропном кристалле не зависит от направления .

2. атомов в элементарной ячейке

Фононный спектр кристаллов состоит из ветвей с частотами ,

Три из этих ветвей стремятся к нулю при (акустические ветви)

Остальные ветви называются оптическими.

ЛЕКЦИЯ №3

Фононная теплоемкость твердых тел

Состояние фононов характеризуется волновым вектором с указанием ветви колебаний . При этом, если отсчитывать энергию от энергии основного состояния , то

Применим формулы статистической термодинамики для определения среднего числа фононов в состоянии и свободной энергии кристалла.

Особенно просто вычисления проводятся в предельных случаях низких и высоких .

А) низкие температуры ( )

Оценка: пусть возбуждаются только фононы акустической ветви.

Тогда

– скорость звука, соотв.ветви колебаний

Пусть

По порядку величины ,

Тогда

Поставленное условие выполняется если

При большом числе ячеек в атоме кристалла

. Учтем, что

В результате

Где

Интегрируя по частям, получим

Итак

Средняя скорость акустических фононов.

Следовательно, полная энергия равна

Теплоемкость единицы объема кристалла

Б) высокие температуры

Если для всех фононов, то

В этом случае полная энергия равна

( – число атомов в элементарной ячейке. Всего ( ) оптических ветвей)

Тогда теплоемкость

В) средние температуры

В этом случае необходимо детально знать зависимость : сделаем следующие предположения

а) для оптических ветвей колебаний пренебрегают зависимостью их частоты от волнового вектора (приближение Эйнштейна)

Тогда

Суммирование по всем оптическим ветвям.

б) при вычислении вклада акустических фононов используется приближение Дебая для трех акустических ветвей. Энергии трех акустических ветвей равные

Максимальная частота колебаний определяется из условия, чтобы полное число фононов равнялось (3 ветви акустических колебаний)

Тогда

В результате

Вводя переменную и дебаевскую температуру , после интегрирования по частям получим

Где функция Дебая

Это даст

Учитывая, что

Получим при высоких и низких температурах

Простота дебаевского приближения в том, что весь спектр акустических колебаний выражается через один параметр – дебаевскую температуру

В частности

Кристалл	Pb	KBr	NaCl	C алмаз
, К	90	180	280	2000

ЛЕКЦИЯ №4