- •Элементы выпуклого анализа.
- •Начальные сведения о численных методах оптимизации.
- •4.Сходимость методов оптимизации.
- •5.Метод покоординатного спуска.
- •6.Метод случайного поиска. Алгоритм с возвратом при неудачном шаге.
- •7. Метод случайного поиска. Алгоритм наилучшей пробы.
- •8. Метод случайного поиска. Алгоритм статистического градиента.
- •9. Метод случайного поиска. Алгоритм покоординатного обучения.
- •10. Градиентный метод. Метод с постоянным шагом.
- •11. Градиентный метод. Метод с дроблением шага.
- •12. Градиентный метод. Метод наискорейшего спуска.
- •13. Метод Ньютона
- •14. Численные методы решения задач линейного программирования. Прямой симплекс-метод. Базис и базисное решение.
- •15. Численные методы решения задач линейного программирования. Прямой симплекс-метод. Элементарные преобразования. Симплекс-таблицы.
- •16. Численные методы решения задач линейного программирования. Прямой симплекс-метод. Алгоритм симплекс-метода.
- •17. Численные методы решения задач линейного программирования. Модифицированный симплекс-метод.
- •18. Численные методы решения задач линейного программирования. Лексикографический прямой симплекс-метод
- •19. Численные методы решения задач линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.
- •20. Численные методы решения задач линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.
- •22. Численные методы решения задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •23. Численные методы решения задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация прямого симплекс-метода.
- •24. Численные методы условной оптимизации. Метод возможных направлений.
- •25. Численные методы условной оптимизации. Метод Келли и метод секущих плоскостей.
- •26. Численные методы условной оптимизации. Первый (циклический) алгоритм Гомори.
- •27. Численные методы условной оптимизации. Метод ветвей и границ
- •28. Численные методы условной оптимизации. Метод ветвей и границ для решения задач нелинейного программирования
- •29. Численные методы условной оптимизации. Метод внешних штрафов
- •30.Численные методы условной оптимизации. Метод внутренних штрафов или метод барьерных функций
- •31.Муравьиный алгоритм.
- •32.Генетические алгоритмы.
- •33.Задачи классического вариационного исчисления. Постановка задачи классического вариационного исчисления
- •Сильный и слабый экстремум в задачах классического вариационного исчисления.
- •Допустимые управления и управляемые процессы в задачах оптимального управления. Оптимальные процессы
- •Элементарный вывод необходимых условий экстремума для простейших задач классического вариационного исчисления
- •Задачи оптимального управления. Постановка задачи оптимального управления
- •Формулировка принципа максимума для линейной задачи быстродействия
- •Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия.
- •Достаточность принципа максимума
Элементарный вывод необходимых условий экстремума для простейших задач классического вариационного исчисления
В этом параграфе дается вывод необходимых условий Эйлера. Дальнейшие рассуждения всюду основаны на непосредственном применении метода вариаций.
Начнем с простейшей задачи вариационного исчисления с закрепленными концами:
(11)
Предположим, что функция L(t,x,y) непрерывно дифференцируема в некоторой области U пространства R3. Задачу (11) будем исследовать на слабый экстремум, то есть в пространстве C1([t0,t1]) .
Вывод уравнения Эйлера состоит из трех этапов.
Первый этап состоит в доказательстве того, что функционал J обладает
первой вариацией в любой точке x*(.) такой, что точки ,
, принадлежат области U , и в получении необходимого условия в
терминах первой вариации. Рассмотрим функцию одной переменной
(12)
порожденную вариацией точки по направлению
точки . При наших допущениях относительно L, и функция является дифференцируемой по при достаточно малых , и при этом производная непрерывна, так как
Следовательно, допустимо дифференцирование в (12) под знаком интеграла и при этом
где
Так как исследуемая функция x*(t) допустима, то для любой функции xt (), принадлежащей подпространству =0 }, функция будет проходить через те же граничные точки, что и функция x*(t) . Следовательно, если x*(t) есть решение задачи (11), то при условии, , функция, определяемая соотношением (12), должна иметь минимум в точке нуль. В итоге получаем необходимое условие экстремума (13). Первый этап вывода закончен.
Второй этап состоит в преобразовании выражения для первой вариации на пространстве L0 посредством интегрирования по частям. Делают это двумя способами: следуя Лагранжу, когда интегрируют по частям второе слагаемое, и, следуя Дюбуа-Раймону, когда интегрируют первое слагаемое. Преобразование по Лагранжу предполагает дополнительное условие гладкости, а именно, допущение, что функция является непрерывно дифференцируемой. При этом дополнительном предположении проинтегрируем по частям второе слагаемое в выражении для первой вариации при условии, что . Получим:
Приведем теперь преобразование первой вариации по Дюбуа-Раймону. Для этого проинтегрируем по частям первое слагаемое на пространстве L0:
и получим, что выражение для первой вариации имеет следующий вид:
Переходим к третьему этапу вывода уравнения Эйлера.
Лемма 1 (Лагранжа). Пусть функция a(t) непрерывна на отрезке [t0,t1]. Предположим, что для любой непрерывно дифференцируемой функции x(t) ,обращающейся в нуль на концах отрезка [t0,t1] , выполнено равенство
тогда a(t) = 0 .
Лемма 2 (Дюбуа-Раймона). Пусть функция b(t) непрерывна на отрезке [t0,t1]. Предположим, что для любой непрерывной функции v(t), в среднем равной нулю, выполнено равенство
Тогда b(t) = b0 = const .
Следствие 1. Пусть в задаче (11) лагранжиан L непрерывно дифференцируем в некоторой области такой, что ей принадлежат точки . Для того чтобы функция x*(t) доставляла слабый локальный минимум в задаче (11), необходимо, чтобы было выполнено уравнение Эйлера в форме Лагранжа:
(16). Функции x*(t) , вдоль которых выполнено уравнение Эйлера, называются экстремалями. Приведем несколько частных случаев, когда у уравнения Эйлера имеются интегралы.
Следствие 2. Если функция L не зависит от x, то для экстремальности x*(t) необходимо, чтобы было выполнено соотношение
Следствие 3. Если функция L не зависит от x , то уравнение Эйлера допускает интеграл импульса:
Следствие 4. Если функция L не зависит от t, то уравнение Эйлера допускает интеграл энергии:
Следствия 1 и 2 непосредственно вытекают из (16). Для доказательства следствия 3 надо взять производную и, воспользовавшись (16), показать, что она равна нулю.