20. Численные методы решения задач линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.

Существуют следующие числовые методы решения задач линейного программирования:1) прямой симплекс-метода 2) модифицированный симплекс-метод 3) лексикографический прямой симплекс-метод 4) двухфазовый симплекс-метод 5) двойственный симплекс-метод 6) лексикографический двойственный симплекс-метод

Фактически в симплекс-методе на каждой итерации рассматриваются базисные решения прямой и двойственной задач с равными значениями целевых функций. Алгоритм организован таким образом, что на нулевом шаге 1-ой итерации выбирается прямо допустимый базис и затем с помощью элементарных преобразований, сохраняющих прямо допустимость, происходит перебор базисов. В тот момент, когда обнаруживается двойственно допустимый базис или неразрешимость задачи, процесс останавливается.

Теперь мы можем сформулировать идею нового алгоритма, который назовем двойственным симплекс-методом. На нулевом шаге 1-ой итерации выбирается начальный двойственно допустимый базис и затем с помощью элементарных преобразований, сохраняющих двойственную допустимость, происходит перебор базисов. В тот момент, когда обнаруживается прямо допустимый базис или неразрешимость задачи, процесс останавливается.В приведенном ниже описании алгоритма этого метода предполагается,

что используются та же форма симплекс-таблицы и то же элементарное преобразование, что и в параграфе 1. Под s(i) , i =1,...,m , как и прежде, понимается набор номеров базисных столбцов (переменных).

21.Численные методы решения задач линейного программирования. Лексикографический двойственный симплекс-методСуществуют следующие числовые методы решения задач линейного программирования:1) прямой симплекс-метода 2) модифицированный симплекс-метод 3) лексикографический прямой симплекс-метод 4) двухфазовый симплекс-метод 5) двойственный симплекс-метод 6) лексикографический двойственный симплекс-метод

Пусть B – двойственно допустимый базис, S’ ={t (1)….,t (l)}, l = n - m , –

множество номеров небазисных переменных, а S – множество номеров базисных переменных.

Добавим к системе уравнений тождественные соотношения x_i = x_i для небазисных переменных Симплекс-таблица будет состоять из коэффициентов правых частей равенств

22. Численные методы решения задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования

Приведем геометрическую интерпретацию задач линейного программирования применительно к следующей паре взаимодвойственных задач, которые обозначим, соответственно, через P и D:

Обозначим через , расширенные вектор-столбцы матрицы А, а через – расширенный вектор правых частей ограничений прямой задачи. Множество K, содержащее с любой своей точкой x все точки при , называется конусом.

Определим линейное преобразование:

Пусть Очевидны следующие свойства множества K:

1. K – выпуклый конус.

2. Вектор и является его вершиной.

3. K порожден конечным числом векторов то есть является множеством точек вида

Чтобы пояснить введенное определение конуса K, рассмотрим следую-щую задачу линейного программирования:

На рисунке приведено множество K для данной задачи. Очевидно, что конус K порожден крайними лучами, образованными векторами Рассмотрим систему уравнений:

Будем считать, что вектор c коэффициентов целевой функции прямой задачи P не является линейной комбинацией векторов , так как в противном случае любое допустимое решение является оптимальным. Тогда

Обозначим последнее множество через Q. Оно является прямой в пространстве , которая проходит через точку параллельно оси

то образом множества допустимых решений задачи P при отображении является пересечение конуса K и прямой Q. Таким образом, задача P сводится к поиску «крайней» точки пересечения прямой Q и конуса K, то есть точки с наименьшей последней координа-той.

На рис. 2 точка M – крайняя точка пересечения , является образом оптимальных решений рассмотренной выше задачи ЛП. Приведем интерпретацию задачиD. Пусть

уравнение гиперплоскости, проходящей через начало координат. Направ-ляющий вектор гиперплоскости определен с точностью до ненулевого множителя. Будем считать, что . Другими словами, мы не рассматриваем гиперплоскости содержащие ось . Следовательно, существует взаимнооднозначное соответствие между гиперплоскостями,

проходящими через ноль, не содержащими ось , и их направляющими векторами . Пусть – допустимое решение задачи D, а – гиперплоскость, определяемая уравнением

Подставим в это уравнение. Так как y является допустимым решением задачи D, то 0

. Поскольку конус K порожден векторами , K ле-жит «над» гиперплоскостью , то есть по ту же сторону от гиперплоскости, что и векто

Пусть – произвольная гиперплоскость, проходящая че-рез O и не содержащая ось . Если конус K располагается «над» ги-перплоскостью, то есть для любой точки справедливо , тогда для любого расширенного вектора условий выполняется , следовательно, является допустимым

решением задачи D. Итак, геометрическим образом множества допустимых решений задачи D является совокупность гиперплоскостей, содержащих начало координат, не содержащих ось и расположенных «под» конусом K. Это соответст-вие является взаимнооднозначным и определяется уравнениями (21).

Пусть . Тогда из определенияQ и (21) имеем

Следовательно, значение целевой функции двойственной задачи на допустимом решении равно расстоянию от точки пересечения прямойQ и гиперплоскости до гиперплоскости

Таким образом, с геометрической точки зрения двойственная задача заключается в отыскании такой гиперплоскости, которая содержит начало координат, не содержит ось , расположена «под» конусом K и пересекает Q в «наивысшей точке» в смысле порядка на оси .