- •3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •5. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда.Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •6. Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости.
- •7. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
- •Признак равномерной сходимости.
- •1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)
- •8. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
- •9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Вычисление радиуса
- •10.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •11.Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.
- •13.Применение степенных рядов к вычислению интегралов, значений функций, решению ду.
- •Приближенное решение ду с помощью степенных рядов
- •1.Способ последовательного дифференцирования
- •2.Способ неопределенных коэфф.
- •14. Тригонометрическая система функций и ее свойства.
- •15. Тригонометрический ряд. Сходимость. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
- •20.Приближение в среднем функции тригонометрическими полиномами.
- •21.Неравенство Бесселя.
- •22.Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразование Фурье.
- •23.Ряд Фурье в комплексной форме.
- •24.Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •25.0Пределение и область существования функции комплексной переменной (фкп).
- •26.Предел и непрерывность фкп.
- •27.Дифференцирование фкп.
- •27.Дифференцирование фкп
- •28.Геометрический смысл модуля и аргумента производной фкп.
- •29.Аналитичность фкп. Условия Коши-Римана.
- •30.Интегрирование фкп.
- •3L.Интегральная формула Коши.
- •32.Степенные ряды фкп. Радиус и круг сходимости.
- •34.Ряд Лорана и область его сходимости.
- •35.0Собые точки и их классификация.
- •36.Вычеты фкп.
- •37.Применение вычетов к вычислению интегралов.
- •3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).
3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).
Признак сравнения.
Пусть имеем два ряда с положительными членами
a1+a2+…+an+…(1) и b1+b2+…+bn+… (2), для которых выполняется условие: an bn. Тогда 1) если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2); 2) если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1) .
Док-во:
Поскольку и an, bn — положительные, то м. утверждать: , где Sn и σn — n-частичные суммы 1-го и 2-го рядов;
значит, если существует (ряд 1 сходится), то существует и (ряд 2 сходится)
Признак Даламбера.
Если в ряду с положительными членами отношение (n + 1)-го члена к n-му при имеет конечный предел l, то есть , то
ряд сходится в случае ;
ряд расходится в случае ;
3) в случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами величина имеет конечный предел l при , то есть , то
в случае ряд сходится;
в случае ряд расходится;
3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
Доказательство:
Пусть . Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению . Начиная с некоторого номера n=N будет иметь место соотношение . Отсюда следует, что или для всех . Рассмотрим теперь два ряда: (1) и (2). Ряд 2 сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда 1, начиная с , меньше членов ряда 2. Следовательно, ряд 1 сходится.
Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера n=N будем иметь или . Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с , больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю.
Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(х) – такая непрерывная не возрастающая функция, что , , .
Тогда справедливы следующие утверждения:
если несобственный интеграл сходится, то сходится и исходный ряд;
если указанный интеграл расходится, то расходится и исходный ряд.
Доказательство:
1) Предположим, что интеграл сходится, то есть имеет конечное значение. Так как , то , то есть частичная сумма Sn остается ограниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены un положительны. Следовательно, Sn при имеет конечный придел , то есть ряд сходится.
2) Предположим далее, что . Это значит, что неограниченно возрастает при возрастании n. Но тогда Sn также неограниченно возрастает при возрастании n, то есть ряд расходится.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Теорема Лейбница:
Если в знакочередующемся ряду , где положительны, члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Доказательство: Рассмотрим сумму первых членов ряда. >0, т.к. все скобки положительны. Запишем теперь эту же сумму так:
По условию 1 каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число, меньшее . Таким образом, мы установили, что при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел S
, причем . Однако сходимость еще не доказана. Мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму первых членов исходного ряда. . Так как по условию 2 теоремы , то следовательно Тем самым мы доказали, что как при четном n, так и при нечетном. Следовательно, исходный ряд сходится.
! Теорема Лейбница справедлива, если условия выполняются с некоторого N.