27.Дифференцирование фкп.

27.Дифференцирование фкп

Производная ф-ции комплексного переменного

W=f(z) (однозначная на всей области определения )

z=x+iy

z=x+ x+i(y+ y)-x-iy= x+i y

w=f(z+ z)-f(z)

Если w=U+iV, то приращение ф-ции имеет вид w=U+ U+i(V+ V)-U-iV= U+i V

Производной от ф-ции комплексного переменного называется выражение вида:

с какой стороны z не имеет значения.

Если предел существует, то ф-ция диф-ма в точке z. Аналитической называется ф-ция, диф-мая в точке и ее окрестности.

Теорема

Если ф-ция диф-ма в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Ф-ция диф-ма, следовательно есть предел.

Воспользуемся теоремой о связи ф-ции, предела и б.м.в.

, если

Ч.т.д.

Обратное утверждение выполняется не всегда.

Дифференциал ФКП

Определение дифференциала ФКП аналогично определению дифференциала

действительной переменной.

W=U(x,y)+ iV(x,y)

Дифференциал ФКП (подчёркнуто)

W=f(z)

- 1-ый дифференциал

Функция будет гармонической, если будут выполняться

условия Лапласа:

и

28.Геометрический смысл модуля и аргумента производной фкп.

По определению . Пусть .

(1)

(2)

Р ассмотрим (1)

- вектор . - его длина.

- вектор . - его длина.

- коэффициент линейного растяжения вектора при отображении - коэффициент деформации бесконечно малого вектора, исходящего из при отображении .

означает, что все бесконечно малые вектора, исходящие из , при отображении деформируются с одним и тем же масштабом, то есть сохраняют постоянное растяжение.

растяжение

не деформируется

сжатие

- произвольная гладкая кривая

,

- угол наклона касательной к в точке .

- угол наклона касательной к в точке .

, .

, .

- угол, на который нужно повернуть вектор, касательный к кривой в точке , с тем, чтобы совместить его с направлением вектора, касательного к кривой , при отображении на , осущ. аналитической функции.

Отображение осущ. аналитической функции сохраняет углы между прямыми.

Отображение - аналитическая функция в точке , , удовлетворяющее двум свойствам: постоянство растяжения; сохранение углов – комфорное отображение.

29.Аналитичность фкп. Условия Коши-Римана.

Условия Коши-Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке .

Обратно, если частные производные , , , непрерывны в точке и условия Коши-Римана , выполнены, то функция дифференцируема в точке .

Производная функции выражается через частные производные функций и по формулам:

30.Интегрирование фкп.

Интегральная теорема Коши для односвязной области.

Т: Если функция аналитична в односвязной замкнутой облости с границей , то (2)

Односвязная область- область, новые две точки которой можно соединить непрерывной линией, не выходя за эту область. Иначе, область многосвязна,

Док-во (Т):

(поскольку функция аналитическая и к ней применимо правило Коши- Римана).

Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Т: - аналитическая функция в многосвязной области с внешней границей и -границы замкнутых контуров внутри области , тогда

Док - во:

Приведем в случае трехсвязной области.

Сделаем 2 разреза. Путем их сводим нашу область к односвязной.

Для односвязной области справедлива интегральная теорема Коши

Если функция аналитическая, то интеграл от нее не зависит от пути интегрирования.

Если такова, что интеграл от нее не зависит от пути интегрирования, то явл. Аналитической и (теорема Мереры)

первообразная для функции

Если , то

; .