20.Приближение в среднем функции тригонометрическими полиномами.

Представление ф-ции бесконечным рядом имеет на практике тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на n-м члене, является приближенным выражением.

Приближенное представление периодической функции f(x) тригонометрическим многочленом вида:

Рассмотрим функцию y=f(x) на [a, b]. Оценим погрешность при замене этой ф-ции ф-цией . За меру погрешности можно взять на [a, b] – наибольшее уклонение. Но берут среднее квадратичное уклонение : .

Среди всех тригонометрических многочленов порядка n наименьшее среднее квадратичное уклонение от ф-ции f(x) имеет тот многочлен, коэф. которого – коэф. Фурье функции f(x).

Величина наименьшего квадратичного уклонения:

Т. к. , то при любом n: - неравенство Бесселя.

Можно показать, что если ф-ция f(x) явл. кусочно-монотонной, то при это неравенство превращается в равенство Парсеваля-Ляпунова.

21.Неравенство Бесселя.

Среди всех тригонометрических многочленов порядка n наименьшее среднее квадратичное уклонение от ф-ции f(x) имеет тот многочлен, коэф. которого – коэф. Фурье функции f(x).

Величина наименьшего квадратичного уклонения:

Т. к. , то при любом n: - неравенство Бесселя.

Можно показать, что если ф-ция f(x) явл. кусочно-монотонной, то при это неравенство превращается в равенство Парсеваля-Ляпунова.

22.Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразование Фурье.

Пусть имеем f(x), определенную на ( ) и абсолютно интегрируемую на этом интервале,т.е. (конечное число),фун-ция разлагается в ряд на (-l,l).

; ; ;

| |=

(Умножим и поделим на )=

(1)

(1)- Интеграл Фурье

Если ф-ция четная или нечетная, то частные случаи:

Распишем интеграл:

1)f(x)-четная

- cos преобразование Фурье

2)f(x)-нечетная

- обратное преобразование от cos преобразования

- sin преобразование Фурье

- обратное преобразование sin преобразование Фурье

23.Ряд Фурье в комплексной форме.

; ; ; интеграл Ф. В комплексной формуле при ( ):

24.Интеграл Фурье в комплексной форме.

В действ. форме:

Возьмем:

При l = :

+ = = | По формулам Эйлера => | = = — Интеграл Фурье в комплексной форме; или:

= = | введем новую переменную: с(α) = | = = — также интеграл Фурье в комплексной форме

25.0Пределение и область существования функции комплексной переменной (фкп).

E, k — множества значений w = f(z)

z, w — их переменные

Если переменной z из множества E становится в соответствие значение w из множества k (одно или несколько), то w называется функцией от z.

Если одному значению z становится в соответствие одно значение w — функция однозначна, если несколько — многозначна.

Если переменная z задается в обл. D, а w в области g, то D — область определения, а g — область значений функции w.

26.Предел и непрерывность фкп.

Предел ФКП.

W=f(z) – однозначна и определена во всех точках (за исключением z=z_o).

Предел функции W в точке z_o – такое число А, что, задав любое ε>0, можно указать такое δ>0, для всех значений z, | z-z_o | < δ, выполняется неравенство | f(z)-A | < ε

lim W= lim f(z)=A, где А=В+iС.

z→z_o z→z_o

Теорема. Если существует limf(z), и он равен А, где А=В+iС, то существует

z→z_o

limU(x,y), и он равен В, и существует limυ(x,y)=С.

x→x_o x→x_o

y→y_o y→y_o

Доказательство: по определению предела

| f(z)-A | < ε

т.к. z_o=x_o+iy_o,

f(z)= U(x,y)+iυ(x,y)

| U(x,y)+iυ(x,y)-(B+iC) | < ε

| U-B-i(υ-C) | < ε и | x+iy-(x_o+iy_o) | < ε (по определению)

| (U-B)+i(υ-C) |=sqrt((U-B)²+( υ-C)²) < ε и | (x-x_o)+i(y-y_o) |=sqrt((x-x_o)²+( y-y_o)²) < ε

| U-B | < ε и | υ-C | < ε, при | x-x_o | < δ и | y-y_o | < δ,

т.е. limU(x,y), и он равен В, и существует limυ(x,y)=С.

x→x_o x→x_o

y→y_o y→y_o

Согласно данной теореме, свойства пределов справедливы для ФКП.

Определение. Предел функции W=f(z) при z→∞, называется число А, что, задав любое >0, можно указать такое N>0, что для всех | z | > N выполняется неравенство | f(z)-A | < ε

lim f(z)=A (предел бесконечной точки).

z→∞

Непрерывность ФКП.

Функция W=f(z) определена в некоторой замкнутой области Д и z_оєД.

Определение. Функция W=f(z) называется непрерывной в точке z_о, если предел

lim f(z)= f(z_о)≠0.

z→z_o

Функция называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в любой точке этой области.

limU(x,y)= U(x_о,y_о) и limυ(x,y)= υ(x_о,y_о)

x→x_o x→x_o

y→y_o y→y_o

Если f(z) непрерывна в точке z_o, то и функция U(x,y) и υ(x,y) непрерывны в точке (x_о,y_о).

Теорема о непрерывности действительной функции подходит для ФКП, за исключением неравенств.

Определение. Функция f(z) называется непрерывной в бесконечно удалённой точке z=∞, если предел f(z) при z→∞ равен W_o (конечному числу) и это число может выходить за область значений функции.