3L.Интегральная формула Коши.

. Формула Коши связывает значение аналитической функции внутри области с граничными точками .

Пусть область -односвязная с границей , -аналитическая функция. Если -внутренняя точка бласти

(инт. Формула Коши для односвязной области) (5)

Док-во: Пусть есть внутренняя точка области , тогда функция аналогична в области всюду, кроме точки .

Проведем круг с радиусом с центром в

По теореме Коши для многосвязной области

-функция непрерывная, потому, взяв

-произвольно малое число, то

.

32.Степенные ряды фкп. Радиус и круг сходимости.

Степенной ряд-ряд вида (1)

(1): ,где С- постоянные комплексные числа.

Если a=0 то (2): ,подстановкой z-a=t можно перейти от (1) к (2).

Т.Абеля: Если ряд (2) сходится абсолютно при z=z₀, то он сходится абсолютно и при всех |z|<|z₀|. Если ряд (2) расходится при , то он расходится и при всех z .

Радиус сходимости:

|z-a|=R-круг включая границы

|z-a|<R-круг без границы

Область сходимости степенного ряда - круг. На границе исследовать дополнительно.

ЗЗ. Ряд Тейлора ФКП.

при а=0 ряд Маклорена

Теорема: f(z), аналитическая внутри круга с центром в точке z=a разлагается в ряд Тейлора.

Доказательство: По формуле Коши

z=a – центр окружности, тогда |z-a|=r(радиус центра) причем

r <σ. Т.к. t-a=σ |t-a|>|z-a| - сумма бесконечно

убывающей геометр. прогрессии, т.к.. Преобразуем:

По свойству интегралов: интеграл от суммы ( ∑ ) = сумме интегралов.

Тогда

34.Ряд Лорана и область его сходимости.

Ряд Лорана по степеням - это формула вида

Правильная часть ряда Лорана сходится в круге

Главная часть ряда Лорана сходится в круге , где - внешность круга.

. Если выполняется это условие, то ряд Лорана сходится в кольце .

Теорема Лорана. Пусть функция является аналитической в кольце . Тогда , где - ряд Тейлора по степеням . Полученное разложение функции однозначно.

35.0Собые точки и их классификация.

Число а наз. нулем ф-ции f(z), если f(a)=0. Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой окрестности точки а, тогда для нее имеет место разложение .

Если z=a ­ ноль ф-ции f(z), то из разложения видно f(а)=C₀=0. Будем говорить, что точка z=a явл. Нулем порядка k ф-ции f(z), если коэффициенты С₀, С₁, … ,С_к-1 равны 0, а С_к отличен от нуля. Тогда f(z)=С_к(z-a)^k +… + C_n(z-a)ⁿ +… . При к=1 ноль первого порядка наз. простым нулем. Точка z=0 явл. Нулем второго порядка. Для того, чтобы точка z=a была нулем порядка к ф-ции f(z) необходимо и достаточно выполнение соотношения f(а)=0, а f^(к)(а)0. Нули ф-ции f(z)=0 наз. изолированными, если их можно окружить непересекающимися окрестностями. Для аналитической ф-ции нули явл. изолированными.

Полюсы.

Предположим, что f(z) аналитична в окрестности z=a, кроме самой точки а, в этом случае точка z=a явл. Изолированной особой точкой ф-ции. В окрестности этой точки f(z) разлагается в ряд Лорана.

Пусть все С_-n равны нулю, тогда. Если перейти к пределу, , но в самой точке ф-ция неопределена. В этом случае точку а наз. устранимой особой точкой ф-ции f(z).

Пусть в главной части ряда Лорана имеется конечное число (к) слагаемых, тогда точка z=a наз. полюсом к-ого порядка. . При z=a С_-к0. правую часть обозначим (z). Функция (z) явл. Аналитической ф-цией всюду, кроме точки z=a. , где (z)0

. Если для ф-ции f(z) z=a ­ полюс к-ого порядка, то для ф-ции , (а)0, есть ноль к-ого порядка. Справедливо и обратное: если для ф-ции z=a ­ полюс к-ого порядка, (а)0.

Полюсы также явл. Изолированными особыми точками.

Если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число слагаемых, т точка z=a наз. существенно особой точкой.