1.1. Моделирование процессов в конструкциях микро- и наносистем

1.1.1. Классификация уравнений математической физики

Итак, с помощью ДУ (1) можно описать многие процессы, происходящие в конструкциях ЭВА. Однако характер ДУ и методы его решения изменяются в зависимости от величины коэффициентов a, b, c и d, которые принимают нулевые или положительные значения для различных моделей процессов.

Если a=b=0, c0 и d0, то получим уравнения эллиптического вида. Наиболее важным и часто встречающимся уравнением прикладной физики эллиптического вида является уравнение Лапласа, описывающее стационарное состояние поля в области без внутренних источников и стоков. Любые установившиеся процессы теплопередачи, электро- и магнитостатики описываются этим уравнением. В общем случае уравнение Лапласа имеет вид:

²  = 0 (2)

где: лапласиан ² представляет собой сумму вторых производных по отношению к рассматриваемым пространственным переменным. Лапласиан для трехмерного случая имеет вид:

²  = d² / dХ² + d² / dY² + d² / dZ²

Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определением дополнительного условия, которое часто является краевым:

_S = Ф

Другим уравнением математической физики элиптического вида является уравнение Пуассона, представляющее собой неоднородное уравнение относительно Лапласиана:

²  = d (3)

Уравнение Пуассона описывает установившуюся систему, внутри которой равномерно распределены источники энергии. В электростатике к такому уравнению приводится задача с равномерно распределенным в поле зарядом. Это уравнение применяется при расчете систем теплопередачи, когда тепловая энергия генерируется внутри температурного поля (например, для определения распределения температуры по поверхности подложки микросхемы с источниками тепла – тепловыделяющими элементами схемы).

Граничные условия для уравнения Пуассона определяют и записывают таким же образом, как и для уравнения Лапласа.

При рассмотрении, исследовании и описании нестационарных процессов в конструкциях ЭВА используют уравнения параболического вида. Такие уравнения получаются из обобщенной записи ДУ (1), если a=0; b0, c 0. Этот вид уравнения, решаемый для однорожной области, известен как уравнение диффузии или уравнени Фурье:

²  = К ( d / dt )

где: К – постоянная времени диффузии. Величина К характеризует скорость затухания процесса и перехода его в стационарный процесс. Она определяется параметрами системы.

Уравнение Фурье используется также для расчета теплового баланса температуры конструкции МЭА. В этих случаях получаем уравнение теплопроводности вида:

²  = с ( d / dt ) (4)

где:  и с – коэффициенты теплопроводности и теплоемкости среды соответственно. Левая часть ДУ (4) определяет передачу тепла между элементами конструкции с помощью теплопроводности, а правая – нагрев (или охлаждение) конструкции. Для анизотропных сред:

d / dX [ _Х d / dX] + d / dY [_Y d / dY]+ d/dZ [_Z d/dZ] = с ( d / dt ) (5)

Для однозначного решения этого уравнения необходимо задать граничные условия и НУ.

Если в среде присутствуют распределенные источники, то, как и в уравнении Фурье, появляется свободный член F=F(x,y,z,t) = d, который определяет нагрев конструкции за счет внутренних источников. Таким образом, уравнения (3) и (4) примут соответственно вид:

²  + F(x,y,z,t) = d (6)

²  + F(x,y,z,t) = с ( d / dt ) (7)

В случае, когда в уравнении (1) a>0; b0, c 0, d 0, уравнения называют ДУ гипербалического вида. К этому виду относятся волновые ДУ, описывающие колебательные процессы в различных средах. В простейшем случае указанные ДУ имеют вид:

²  = К ( d² / dt² )

где: К – постоянная величина, определяемая параметрами системы и характеризующая период распросмтранения возмущений. Чем меньше К, тем быстрее передается возмущение от одной точки пространства к другой.

Двумерное волновое ДУ описывает распространение колебаний на поверхности, а трехмерное – распространение волн в объеме любой сплошной среды: жидкости, газе, твердом теле. Для однозначного решения данного ДУ необходимо задать и граничные и начальные условия. Поскольку в уравнение входит вторая производная искомой функции по времени, следует задать два НУ. Одно представляет собой значение искомой функции в начальный момент времени t = 0. В качестве второго – выбирают начальное значение первой производной искомой функции во времени.

Если заданы нулевые НУ, то можно в принципе интегрировать рассмотренные ДУ по области и получить решение задачи, то есть найти такое аналитическое выражение функции , которое в каждой точке удовлетворяет заданному уравнению, а на границе – принимает заданные значения. Аналитическое выражение должно состоять из хорошо изученных элементарных функций – тригонометрических, степенных и гиперболических. Все эти функции сами являются решениями ДУ, но более простых, одномерных и , чаще всего бывает так, что из них не удается скомбинировать решение двумерных задач.

Общих методов интегрирования ДУ нет. Поэтому математики говорят не «решить задачу», а «отыскать функцию, удовлетворяющую ДУ». То есть решения надо искать, причем каждое найденное решение ДУ в математике – целое событие. Другими словами аналитические решения попадаются редко.

Практическое задание: «РЕШЕНИЕ НА ЭВМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО»

Цель: исследовать на ЭВМ алгоритм решения эллиптических дифференциальных уравнений методом Монте-Карло и сравнить результаты в последствии с методом МКР.

ЗАДАНИЕ: Методом Монте–Карло, найти решение эллиптической краевой задачи:

(1)

в квадрате P(0<x</4; 0<y</4), если шаг сетки: h= /20 и на краях области искомая функция должна быть равна:  (x,y) = sin(x+y). Значения искомой функции F(x,y), рассчитаные во внутренних узлах методом конечных разностей (МКР) представлены на рис.1. Требуется сравнить эти результаты с результатами, полученными методом Монте–Карло.

Рис.1	Рис.2

Решение.

1. Заменим в уравнении (1) вторые производные конечными разностями (рис.2–сверху):

2. Учитывая также, что sin(x) = sin(jh), приходим к конечно–разностному представлению уравнения (1) в виде, представленном на рис.2–снизу.

3. Из конечно–разностного уравнения следует, что переход из точки u_ij в точку u_i,j+1 (и из точки u_ij в точку u_i,j+1) должен выполняться с вероятностью P₁, а переход из точки u_ij в точку u_i+1,j (и в точку u_i-1,j) – с вероятностью P₂ , где:

4. Шаг h = /20 определяет область решения размерностью 66 дискрет². Функция  (x,y) на ее границе принимает значения, подчеркнутые на рис.1 (начало координат находится в левом верхнем углу – матрица G)

5. Значения вероятностей P₁ и P₂ приведены в таблице:

P	j
	2	3	4	5
P1	0,43	0,38	0,34	0,31
P2	0,07	0,12	0,16	0,19