Числовые характеристики выборки.
Для изучения основных свойств статистического распределения используют выборочные числовые характеристики. Для нахождения центра распределения вычисляют различные типы средних величин, моду и медиану, степени вариации - размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и другие величины.
1. Выборочная средняя арифметическая:
(1)
2. Выборочная средняя квадратическая:
(2)
3. Выборочная средняя геометрическая:
(3)
При вычислении различных типов средних величин для одного и того же вариационного ряда всегда имеем
Эти неравенства характеризуют свойство мажорантности средних.
Для
упрощения вычисления выборочной средней
арифметической удобно переходить от
данных вариант
к условным вариантам
,
где
- разность между соседними вариантами,
- ложный нуль (варианта с наибольшей
частотой):
(4)
4. Модой М0 называется варианта, имеющая наибольшую частоту.
5. Медианой Ме называется такая варианта, которая делит вариационный ряд распределения на две равные части, т.е. варианта, находящаяся в середине ряда распределения.
Если
в дискретном вариационном ряду
значений, то
.
Если
число вариант четное
,
то медиана определяется как среднее
арифметическое из двух серединных
значений, т.е.
.
6.
Размах
вариации
определяется как разность между
максимальным и минимальным вариантами,
т.е.
.
(5)
7. Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней арифметической
(6)
8. Дисперсией называется средний квадрат отклонения всех значений признака от его средней величины.
(7)
9.
Исправленная
дисперсия
(8)
10. Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
(9)
Среднее квадратическое отклонение называют также стандартным отклонением.
11.
Коэффициент
вариации
- это выраженное в процентах отношение
среднего квадратического отклонения
к средней арифметической:
(10)
Пример 4. Урожайность пшеницы, возделываемой на трех участках с одинаковыми условиями роста и развития, задана в таблице:
(ц) |
15 |
16 |
17 |
Площадь (га) |
10 |
30 |
10 |
Найти дисперсию урожайности пшеницы.
Решение:
Требуется найти
и
.
