Виртуальные лекции по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»

 

№	Темы	Кол-во часов
1	Числовые характеристики непрерывных случайных величин»	2
2	Законы распределения непрерывных случайных величин	2
3	Закон больших чисел	1
4	Вариационные ряды и их числовые характеристики	1
	Всего:	6

 

Тематический обзор

 

 

Тема 8: «числовые характеристики непрерывных случайных величин» «числовые характеристики непрерывных случайных величин»

 

 

1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

2. Дисперсия непрерывной случайной величины.

3. Мода и медиана случайной величины.

4. Закон равномерного распределения.

 

 

 

 

 

1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения принадлежат всей оси , то

 

 

 

2. Дисперсия непрерывной случайной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения принадлежат отрезку , то

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

Для вычислений более удобны формулы:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством .

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Задача 1. Случайная величина задана интегральной функцией

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Построить графики функций и .

Решение: Найдем дифференциальную функцию :

Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию случайной величины Х:

;

Построим графики функций и

 

 

 

 

 

Ответ:

 

3. Мода и медиана случайной величины.

Медианой называют такое возможное значение, при котором ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения, т.е. такое значение, для которого .

Модой называют ее наиболее вероятное значение , при котором дифференциальная функция имеет максимум.

Задача 2. Найти моду и медиану случайной величины с плотностью вероятности при .

Решение: Графиком функции является парабола.

 

Из рисунка видно, что наибольшее значение плотности вероятности достигается при х = 1, значит = 1

Медиану находим из условия:

 

 

 

4. Закон равномерного распределения.

Равномерным называется такое распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а, в), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, а именно ; вне этого интервала

Таким образом:

Задача 1. Определить математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением.

Решение:

= ;

Итак,

,

как это и должно быть в силу симметрии распределения.