Случайные величины и законы распределения

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина  Х  принимает определеное значение хi  или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина  имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

Случайная величина Х называется дискретной, если существует такая неотрицательная функция

         (1)

которая ставит в соответствие значению хi переменной  Х  вероятность  рi , с которой она принимает это значение.

Случайная величина  Х  называется  непрерывной, если для любых   a < b  существует такая неотрицательная функция  f ( x ), что

             (2)

Функция  f ( x ) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина  Х  (дискретная или непрерывная) принимает значение, меньшее  х , называется функцией распределения случайной величины Х  и обозначается  F ( x ) :

            (3)

Функция распределения является универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины.

Общие свойства функции распределения:

                (4)

Кроме этого универсального, существуют также частные виды законов распределения:  ряд распределения  (только для дискретных случайных величин) и плотность распределения  (только для непрерывных случайных величин).

Основные свойства плотности распределения:

           (5)

Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х  часто приходится судить только по результатам испытаний. Повторяя испытания, будем каждый раз регистрировать, произошло ли интересующее нас случайное событие А, или нет. Относительной частотой (или просто частотой) случайного события А называется отношение числа nA появлений этого события к общему числу n проведенных испытаний. При этом мы принимаем, что относительные частоты случайных событий близки к их вероятностям. Это тем более верно, чем больше число проведенных опытов. При этом частоты, как и вероятности, следует относить не к отдельным значениям случайной величины, а к интервалам. Это значит, что весь диапазон возможных значений случайной величины Х  надо разбить на интервалы. Проводя серии испытаний, дающих эмпирические значения величины Х , надо фиксировать числа nx попаданий результатов в каждый интервал. При большом числе испытаний n отношение nx / n (частоты попадания в интервалы) должны быть близки к вероятностям попадания в эти интервалы. Зависимость частот nx / n от интервалов определяет эмпирическое распределение вероятностей случайной величины Х, графическое представление которой называется гистограммой (рис. 1). 

 

Рис. 1. Гистограмма и выравнивающая плотность распределения

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают интервалы равной длины, на которые разбивается весь диапазон возможных значений случайной величины Х , а по оси ординат откладывают частоты nx / n. Тогда высота каждого столбика гистограммы равна соответствующей частоте. Таким образом, получается приближенное представление закона распределения вероятностей для случайной величины Х в виде ступенчатой функции, аппроксимация (выравнивание) которой некоторой кривой f (x) даст плотность распределения.

Однако, часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные свойства распределения. Эти числа называются числовыми характеристиками случайной величины.