2. 29. Задача синтеза автоматов

По аналогии с задачей синтеза СФЭ можно поставить задачу синтеза для автоматов. Имеется неограниченный набор базисных автоматов . Требуется собрать автомат с наперед заданным функционированием. При этом задача синтеза сталкивается с определенными проблемами.

Допустим, что нужно присоединить выход автомата к входу автомата . Это возможно при условии , так как иначе второй автомат не поймет сигналы, поступающие с первого. Это приводит к запутанной ситуации, когда некоторые соединения невозможны.

Чтобы преодолеть это препятствие, вводится понятие структурного автомата, в котором все алфавиты (входной, выходной и внутренних состояний) кодируются двоичными словами.

Пусть – конечное множество из элементов, а – множество двоичных слов длины , где . Произвольное инъективное отображение будем называть кодированием множества двоичными словами.

Произведем кодирование алфавитов для произвольного автомата :

Обозначим закодированные вход, выход и состояние автомата в момент времени соответственно . Тогда закон функционирования представится в виде

(2)

Полученный после кодирования автомат называют структурным. Будем считать, что структурный автомат имеет двоичных входов, двоичных выходов, а внутреннее состояние автомата задается двоичным словом длины . На рис. 3 показан абстрактный автомат и соответствующий ему структурный автомат.

… …

Рис. 3

Переход к структурному автомату обеспечивает два важных для синтеза преимущества.

1. Совместимость входов и выходов, так как через них передается двоичная информация. Мы не будем давать общее определение схемы из структурных автоматов – оно аналогично СФЭ.

2. Запишем соотношения (2) в «координатах»:

(3)

Из (3) следует, что закон функционирования структурного автомата задается системой булевых функций.

3. Элементарные автоматы

Выделим простейшие структурные автоматы и дадим им название.

Отметим сначала, что функциональный элемент, имеющий только одно состояние, можно рассматривать как автомат без памяти.

Перейдем к автоматам с двумя состояниями. Пусть автомат имеет один двоичный вход и один двоичный выход , совпадающий с внутренним состоянием: :

Рис. 4.

Для задания автомата, показанного на рис. 4, достаточно задать только таблицу переходов:

Таблица 3

Вход	Состояние
	0	1
0	*	*
1	*	*

Вместо звездочек нужно поставить 0 и 1. Это можно сделать 16 способами, однако, не все они приемлемы. Допустим, например, что в первом столбце таблицы 3 оба элементы нули. Такой автомат, оказавшись в состоянии 0, более из него не выйдет, то есть будет работать как функциональный элемент. Анализ аналогичный ситуаций показывает, что для того чтобы получился автомат, не сводящийся к автомату без памяти, надо потребовать, чтобы в каждом столбце таблицы 3 встречались и ноль и единица. Таких таблиц всего четыре.

Таблица 4 Таблица 5

Вход	Состояние
	0	1		Вход	Состояние
0	0	0			0	1
1	1	1		0	0	1
				1	1	0

Таблица 6 Таблица 7

Вход	Состояние
	0	1
0	1	0
1	0	1

Вход	Состояние
	0	1
0	1	1
1	0	0

Имеем только два простейших автомата, так как 7 получается из 4, а 6 из 5 путем инверсии внутренних состояний.

Автомат, задаваемый таблицей 4, называется задержкой или -триггером:

,

то есть этот автомат задерживает сигнал на один такт.

Автомат, задаваемый таблицей 5, называется триггером со счетным входом или -триггером. Состояние автомата меняется на противоположное, если на вход поступает 1, и остается без изменения, если на вход поступает 0:

.

Пусть в начальный момент времени -триггер находится в состоянии 0. Если в некоторый момент времени -триггер находится в состоянии 0, то это означает, что на вход автомата поступило четное число единиц. Если в состоянии 1, то – нечетное. Таким образом, -триггер считает количество единиц на входе, но так как он имеет всего два состояния, то и считает до двух.

При физической реализации триггеров используют два выхода: прямой и инверсный (рис. 5). Если поменять их местами, то из -триггера получится автомат, задаваемый таблицей 7, а из -триггера – автомат, задаваемый таблицей 6.

Рис. 5.

41. Понятие алгоритма. Машины Тьюринга и операции над ними. Функции, вычислимые на машинах Тьюринга.