- •1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.
- •1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
- •1. Основные свойства предела функции.
- •1.Сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций.
- •2. Симметрические многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах. Формулы Виета.
- •1. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Векторное ум. Двух векторов трёхмерного евклидового пространства, его свойства и применение к решению задач
- •Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •1. Производная суммы, произведения, частного и композиции функции. Произв. Обратной функ.
- •2. Система аксиом плоскости Лобачевского,д-во ее непротиворечивости.
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
- •1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
- •1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
- •Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
- •Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •1. Линейные св-ва опред.Интеграла и св-ва,связанные с неравенствами.
- •Линейные свойства интеграла Римана.
- •Свойства, связанные с неравенствами.
- •1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
- •2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
- •1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
- •2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.
- •1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
- •2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
- •1. Скалярное умножение двух векторов трехмерного евклидова пространства, его свойства и применение к решению геометрических задач.
- •2. Неприводимые многочлены над полем. Разложение многочлена в произведения неприводимых множителей и его единственность над полем.
- •1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.
- •Применение гомотетии (подобия) к решению задач на построение (или на доказательство).
- •Классиф. Движений первого рода плоскости, их применение к решению задач по геометрии.
- •2. Простые и составные числа. Бесконечность мн-ва простых чисел.
- •1. Тригон. Форма комп. Числа. Формула Муавра. Корни n – ой степени из комплексного числа.
- •1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
- •2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.
- •2. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.
- •2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
- •2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.
- •19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Опр. 1: Функция f(x) называется возрастающей в широком смысле на множестве Х, если .В частности, если всегда функция наз. возрастающей в узком или строгом смысле.Опр. 2: Функция f(x) называется убывающей на Х в широком смысле, если .В частности, если всегда функция наз. убывающей в узком или строгом смысле. Опр. 3: Возрастающие и убывающие функции наз. монотонными (в узком или строгом смысле).Теорема 1: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), тогда f(x) возрастает (убывает) в широком смысле на отрезке тогда и только тогда, когда на (a, b).
1) Необходимость. Если f(x) возрастает на [a, b], то на (a, b).
Возьмем любую , любое причем такие, что , то в силу возрастания функции следует , тогда дробь , следовательно .
2) Достаточность. Если на (a, b), то f(x)- возрастает на [a, b].
Возьмем любое и такие, что . Составим разность . Применим теорему Лагранжа: , получается, что .■
Теорема 2: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Если ( ) на (a, b), то f(x) возрастает (убывает) на [a, b].
Рассмотрим случай . По теореме Лагранжа , то , .■
З амечание: Эта теорема является достаточным признаком возрастания и убывания функции. Обратное предложение не верно.
Пример: (на неверно) y=x3 возрастает на R x=0, касательные совпадают с осью ОХ.
2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
Пусть , т. е.
Предложение: Если яв. корнем f(x) , то также яв-ся корнем f(x).
↓ Испол. св-во сопряжения:
; ; => . ↑
Многочлен полож. ст. над R наз. неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени.
Теорема: Неприводимый многочлен над R имеет степень ≤ 2.
↓Пусть , по основной теореме алгебры существует корень
неприводим , т. е. .
также корень (по лемме). По предложению и ↑
Следствие: Если , то его можно представить в виде , где не превышает квадрата трехчлена, т. е. .
Теорема Безу: Пусть многочлен над коммутативным кольцом с единицей К и пусть , тогда , где f(c) наз. остатком.
Основная теорема алгебры: Многочлен положител. степени над полем С имеет хотя бы один корень.
(Дополнительно) Свойства сопряжения:
. 2) 3) 4)
5) 6) 7)
Билет №9
1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
О пр. 1: Точка х0 называется точкой максимума f(x), если у точки х0 имеется такая окрестность, что при любом х из этой окрестности выполняется неравенство .
Опр. 2: Точка х0 называется точкой минимума f(x), если у точки х0 имеется такая окрестность, что при всех значениях х этой окрестности выполняется неравенство .
Значение функции в точке максимума и минимума называется ее максимумами и минимумами.
Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами, а соответствующее значение аргумента- точка экстремума.
Теорема 1: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Если есть точка экстремума функции, то .
Пусть х0- точка максимума f(x), то при некоторой окрестности точки х0, тогда в этой точке функция имеет наиб значение в этой окрестности, а следовательно по теореме Ферма. ■ Замечание: 1) необходимый признак экстремума функции, обратное предложение не верно. Приведем пример на неверно.Пример 1: х=0 с одной стороны, но с другой стороны х=0 не является точкой экстремума функции.
2) в точке экстремума функции ее производная может быть не только равна 0, но и не быть конечной.
Пример 2: . (т.е. не существует).Опр. 3: Точки в которых производная функции равна нулю называют ее стационарными точками.Опр. 4 : Точки в которых производная функции не равна нулю или не является конечной, называются критическими точками функции. Теорему 1 можно обобщить так: любая точка экстремума функции является ее критической точкой (но не обратно).Теорема 2: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на Х, т. е. х0 Х есть критическая точка функции и на некоторой окрестности этой функции за искл может быть самой точки х0, функция имеет производную, которая слева и справа от точки х0 (в отдельности) сохраняет постоянный знак, тогда 1) если в точке х0 меняет знак с + на – (при перемещении в положит направлении оси ОХ), то х0 есть точка максимума функции; 2) если в точке х0 меняет знак с – на +, то х0 –точка минимума; 3) если в точке х0 функция не меняет знака, то х0 не является точкой экстремума.Пусть 1) в точке х0 меняет знак с + на –. Пока, что >0 на (a, х0) следовательно f(x) возрастает на (a, х0]:
.
2) <0 на (х0, b)à f(x) убывает на [х0, b):
[х0, b)
- точка максимума.
3) >0 положительно и слева и справа от точки х0, тогда f(x) возрастает на (a, х0] и [х0, b), т. е. на .■ Теорема является достаточным признаком экстремума функции.