- •1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.
- •1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
- •1. Основные свойства предела функции.
- •1.Сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций.
- •2. Симметрические многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах. Формулы Виета.
- •1. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Векторное ум. Двух векторов трёхмерного евклидового пространства, его свойства и применение к решению задач
- •Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •1. Производная суммы, произведения, частного и композиции функции. Произв. Обратной функ.
- •2. Система аксиом плоскости Лобачевского,д-во ее непротиворечивости.
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
- •1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
- •1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
- •Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
- •Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •1. Линейные св-ва опред.Интеграла и св-ва,связанные с неравенствами.
- •Линейные свойства интеграла Римана.
- •Свойства, связанные с неравенствами.
- •1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
- •2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
- •1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
- •2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.
- •1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
- •2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
- •1. Скалярное умножение двух векторов трехмерного евклидова пространства, его свойства и применение к решению геометрических задач.
- •2. Неприводимые многочлены над полем. Разложение многочлена в произведения неприводимых множителей и его единственность над полем.
- •1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.
- •Применение гомотетии (подобия) к решению задач на построение (или на доказательство).
- •Классиф. Движений первого рода плоскости, их применение к решению задач по геометрии.
- •2. Простые и составные числа. Бесконечность мн-ва простых чисел.
- •1. Тригон. Форма комп. Числа. Формула Муавра. Корни n – ой степени из комплексного числа.
- •1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
- •2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.
- •2. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.
- •2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
- •2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.
- •19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке X и во внутренней точке имеет наибольшее и наименьшее значения. Если в этой точке производ. функ., то =0.
↓Докажем случай когда - наибольшее значение функции на всём промежутке.
= , т.к. в - наибол. значение, то .
1). Если x< , то x- <0, , = (одно из св-в пределов).
2). Если x> , то x- >0, , (из подчёркнутого) =0 ↑
Геометрический смысл теоремы:
kкас= =0 касательная // Ох.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) удовлетворяет следующему условию:
1) Она определена и непрерывна на отрезке [a;b];
2) дифференцируема на интервале (a;b);
3) f(a)=f(b), тогда , такая что .
Геометрический смысл теоремы: Начертим график непрерывной дифференцируемой функции.
такая, что kкас= , касательная // Ох.
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда , такая что = , т.е. .
Г еометрический смысл теоремы: kсек= = , тогда , такое что
касательная //секущей, т.е. kкас.=kсек., т.е. = .
Таких точек может быть и не одна.
Теорема Ролля есть частный случай т. Лагранжа, когда
2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
Смешанным произв.трех векторов , взятых в указанном порядке, наз. число, равное скалярному произв.[ ] .Установим геометрический смысл смешанного произведения некомпланарных векторов .Теор.1 Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов , по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
По опр. .[ ] ), - некомплан., отлож.от одной точки. Достроим до параллепипеда(рис) ОАDBC , CH – высота. V=Sосн.CH. Sосн= . Обоз. через ). Возможны случаи:1) 0 , CH= . V= ;2)90 . CH=
V= .
Следствие.1 Если ( ) – ортонормированный базис, то смешанное произведение , если ( ) – правая, , если ( ) – левая.
Геометрическое св-во:
Теор.2 =0 , когда - компланарны.
- компланарны => они линейно зависимы .
Необходимость:
Дано: => - компланарны.
Доказать: - компланарны. - компланарны .
Следствие.2 - некомпланарны.
Опр. Тройка векторов называется ориентированной, если указан ее порядок.
Опр. Параллелепипед, построенный на называется ориентированным положительно, если - правая, и отрицательно, если -левая.
Опр. Объем ориентированного параллелепипеда считается положительным, если - правая, и отрицательным, если - левая.
Алгебр.св-ва смеш.произв.: 1) ; .2) ( . Спаведливость всех свойств вытекает из свойств определителя.
Смешанное произведение в координатной форме:
Пусть в ( ) даны
Теор.3
,
Следствие.3 - компланарны, , когда (*) – условие компланарности.
Замечание. Условие (*) компланарности 3-х векторов имеет такой же вид, что и в базисе ( ).
Следствие.4 - некомпланарны (**)
Условие (**) называется условием некомпланарности и имеет такой же вид и в афинном базисе.
Применение: Лежат ли 4 точки в одной плоскости? A(1,1,0), B(-1,0,3), C(-2,2,1), D(2,3,0)
Билет №8