- •1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.
- •1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
- •1. Основные свойства предела функции.
- •1.Сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций.
- •2. Симметрические многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах. Формулы Виета.
- •1. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Векторное ум. Двух векторов трёхмерного евклидового пространства, его свойства и применение к решению задач
- •Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •1. Производная суммы, произведения, частного и композиции функции. Произв. Обратной функ.
- •2. Система аксиом плоскости Лобачевского,д-во ее непротиворечивости.
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
- •1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
- •1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
- •Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
- •Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •1. Линейные св-ва опред.Интеграла и св-ва,связанные с неравенствами.
- •Линейные свойства интеграла Римана.
- •Свойства, связанные с неравенствами.
- •1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
- •2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
- •1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
- •2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.
- •1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
- •2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
- •1. Скалярное умножение двух векторов трехмерного евклидова пространства, его свойства и применение к решению геометрических задач.
- •2. Неприводимые многочлены над полем. Разложение многочлена в произведения неприводимых множителей и его единственность над полем.
- •1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.
- •Применение гомотетии (подобия) к решению задач на построение (или на доказательство).
- •Классиф. Движений первого рода плоскости, их применение к решению задач по геометрии.
- •2. Простые и составные числа. Бесконечность мн-ва простых чисел.
- •1. Тригон. Форма комп. Числа. Формула Муавра. Корни n – ой степени из комплексного числа.
- •1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
- •2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.
- •2. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.
- •2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
- •2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.
- •19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
Теорема1 Если f(x)интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на [a;b]. (Необходимый признак интегрируемости ф-ии, обратное неверно)След-ие Если f(x) неогранич. на отрезке [a;b] то f(x) не интегр-ма на отрезке [a;b]. Пусть f(x) определена и ограничена на[a;b], разобъем [a;b] на n частичных отрезков a=x0<x1<x2<…<xk-1 < xk<…<xn=b.Положим Мк=supE(f), mk=infE(f) на [хк-1,хк] Эти грани существуют. Если числовое множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань, а если снизу, то точную нижнюю грань.Опр. , наз-ся верхней и нижней интегр-ой суммами или верхней и нижней суммами Дарбу. Эти суммы зависят только от разбиения. Они похожи на обычные интегральные суммы , но вообще не являются частным случаем обычной интегральной суммы, т.к. числа Мк и mk могут не быть значениями ф-ии. Но в частном случае, когда ф-ия непрерывна на [a,b] они являются частными случаями обычной интегральной суммы, т.к. если ф-ия непрерывна на [a,b], то она имеет на ней наибольшее и наименьшее значение (Теорема Больцано-Вейерштрассе).Теорема2: Для того чтобы f(x) была интегрируема на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы
(без док-ва критерий интегрируемости по Риману)Теорема3 Если f(x)непрерывна на отрезке [a;b], то f(x)интегрируема на отрезке [a;b].(можно д-ть Т4,а можно Т3).
Док-во: Если ф-ия Х непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора о равномерной непрерывности
Здесь δ зависит только от ε и следовательно число δ обслуживает все пары точек х’ и x” из Х. В данном сл. роль Х играет [a;b]. , если Т.к. Мк и mк являются значениями ф-ии на [xk-1,xk] в силу непрерывности ф-ии, то такие, что f(xk’)=Mk, f(xk”)= mkТогда Применим для если т.е.
Вернемся к S-s. Вместо |xk’-x”k|<δ можно писать λ<δ
Отсюда следует по Т2 f(x) интегрируема на [a;b]
Теорема4 Если f(x) монотонна и ограничена на [a;b] , то она интегрируема на [a;b]
↓Пусть явл.неубывающей. Это значит, что , т.е. - ограничена на вып.необходимое условие интегрируемости: если интегрир.на , то она ограничена на этом отрезке. Пусть - произв.разбиение с диаметром разбиения d. Тогда на каждом частичном отрезке Тогда Возьмем произв. и определим
; . В силу критерия интегрир.по Риману это означает, что – интегрируема. ↑Теоремы 3,4 являются только достаточными признаками интегрируемости функции, т.к. предложения обратные Т3 и Т4 не верны: теорема обратная Т3- потому что верна Т4, и теорема обратная Т4 – потому что верна Т3.
2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
п.1. Определения эллипса, гиперболы, параболы.
• Эллипсом называют множество всех тех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до 2-х данных точек и есть величина постоянная, большая, чем расстояние между и . Элементы : Точки и называются фокусами, а - фокальным расстоянием. Обозначим через сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов, а через . По определению . Уравнение:
• Гиперболой называется множество всех тех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2-х данных точек и - есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между и . Обозначим через модуль разности от любой точки гиперболы до фокусов, а через . По определению . Уравнение: .
• Параболой называется множество всех тех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой , которая не проходит через .
Элементы: - фокус параболы, - директрисса, - фокальный параметр параболы.
Уравнение: .
п.2. Вывод канонического уравнения эллипса.
Обозначим через сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов, а через .
По определению
Найдем уравнение эллипса.
Выберем ПДСК (правая), начало координат т. О – середина , ось Ох – прямая , , , , .
Пусть - текущая точка эллипса , т.е. : (*)
Условие (*) записывается в координатах: .
Упростим полученное уравнение:
возводим в квадрат
, введем обозначение: (1) – каноническое уравнение эллипса.
п.3. Изучение геометрических свойств линии по их каноническим уравнениям.
Эллипс:
1. Прохождение через начало координат: т. т.к.
2. Пересечение с осями: и .
и .
• Точки пересечения с каноническими осями координат называются его вершинами.
•Числа а и b называются полуосями эллипса.
3. Симметричность. Т.к. переменные х и у входят в уравнение эллипса в четной степени, то эллипс симметричен относительно Ох и Оу. Эллипс так же симметричен относительно начала координат, т.к. при замене х на (-х) уравнение не изменится.
Гипербола:
1. Прохождение через начало координат: т. т.к.
2. Пересечение с осями: и .
Решений нет, следовательно, и точек пересечения с осью Oy.
3. Симметричность. Т.к. переменные х и у входят в уравнение гиперболы в четной степени, то гипербола симметрична относительно Ох и Оу. Эллипс так же симметричен относительно начала координат, т.к. при замене х на (-х) уравнение не изменится.4. Асимптоты гиперболы – 2 прямые и .Выясним расположение гиперболы относительно асимптоты.
, , очевидно, что прямая расположена выше гиперболы. при возрастании x уменьшается точки гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам, не пересекая ее. В силу симметричности теми же свойствами обладает и вторая асимптота.
Парабола:
1. Прохождение через начало координат: т. т.к. .
2. Пересечение с осями: пересекает оси в начале координат - вершина.
3. Симметричность. Т.к. переменная у входит в уравнение параболы в четной степени, то парабола симметрична относительно Ох, но не симметрична относительно Оу и начала координат.
п.4. Изображение линии относительно канонической системы координат.
Эллипс: т.к. линия имеет 2 оси симметрии и цент симметрии, то для построения достаточно изображать часть линии, расположенной в 1 координатной четверти.
Из уравнения эллипса следует, что и и
все точки эллипса лежат внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b.
Из (1) . Для 1 четверти: , если ,
. Т.о. при возрастании х от 0 до а, у убывает от b до 0.
•Эксцентриситет - число, равное , где - большая полуось, .
Для эллипса . , т.е. эллипс сплющивается.
Директрисы эллипса – 2 прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстояние . , т.к. то , поэтому директрисы лежат вне эллипса.
Гипербола: Если на оси Oy отметить т. и т. , то - мнимая ось гиперболы , - действительная ось гиперболы. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 2a и 2b и с центром в начале координат. При этом, диагонали прямоугольника – асимптоты гиперболы.
Из уравнения гиперболы, следует, что . Т.о. между точек гиперболы нет, значит она состоит из 2 ветвей.
•Эксцентриситет - число, равное , где - действительная полуось,
Для гиперболы . , т.е. гипербола расширяется.
Директрисы гиперболы – 2 прямые, параллельные ее мнимой оси и отстоящие от нее на расстояние . т.к. то , следовательно директрисы расположены внутри полосы, меджу x=a и x=– a.
Парабола:Выбираем ПДСК. т. - середина , , ,
т. - текущая точка параболы, , .
Эксцентриситет параболы по определению и в силу геометрического смысла эксцентриситета для .
п.5. Связь темы со школьным курсом геометрии.
В школьном курсе изучается парабола, но с вертикальной осью симметрии, а также равносторонняя гипербола, как частный случай гиперболы. Окружность, как частный случай эллипса. В физ.-мат. классах изучаются все известные кривые.
Билет №12