- •1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.
- •1. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.
- •1. Основные свойства предела функции.
- •1.Сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций.
- •2. Симметрические многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах. Формулы Виета.
- •1. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Векторное ум. Двух векторов трёхмерного евклидового пространства, его свойства и применение к решению задач
- •Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •1. Производная суммы, произведения, частного и композиции функции. Произв. Обратной функ.
- •2. Система аксиом плоскости Лобачевского,д-во ее непротиворечивости.
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •2. Смеш. Произ. 3 в-ров 3-х мерного Евклидова пр-ва. Его св-ва и прим. К реш. Геомет. Задач.
- •1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •2. Многочлены от одной переменной над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней, описание неприводимых многочленов.
- •1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •2. Прямая на плоскости как линия первого порядка.Взаим.Распол. Двух прямых.
- •Различные способы задания прямой (направляющим вектором и точкой) и соответствующие им уравнения.
- •Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •1. Линейные св-ва опред.Интеграла и св-ва,связанные с неравенствами.
- •Линейные свойства интеграла Римана.
- •Свойства, связанные с неравенствами.
- •1. Достаточное условие существования определенного интеграла.
- •2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.
- •1. Теорема дифференц. Опред. Интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной над полем. Нод двух многочленов. Алгоритм Евклида.
- •2. Плоскость как поверхность первого порядка. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •7.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.
- •1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •1. Несчетность множества точек отрезка [ 0,1 ]
- •2. Кольцо классов вычетов, приведённая система классов вычетов.
- •1. Скалярное умножение двух векторов трехмерного евклидова пространства, его свойства и применение к решению геометрических задач.
- •2. Неприводимые многочлены над полем. Разложение многочлена в произведения неприводимых множителей и его единственность над полем.
- •1. Векторные пространства, простейшие свойства, примеры векторных пространств. Подпространства.
- •Применение гомотетии (подобия) к решению задач на построение (или на доказательство).
- •Классиф. Движений первого рода плоскости, их применение к решению задач по геометрии.
- •2. Простые и составные числа. Бесконечность мн-ва простых чисел.
- •1. Тригон. Форма комп. Числа. Формула Муавра. Корни n – ой степени из комплексного числа.
- •1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
- •2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.
- •2. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.
- •2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.
- •2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •14 Вопрос. Проективная плоскость (пп) и ее модели.
- •19. Кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.
Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками и плоскости равно расстоянию между их образами и , т.е. . Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением. Будем говорить, что реперы и одинаково ориентированы (противоположно ориентированы), если базисы и одинаково ориентированы (противоположно ориентированы). Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости (меняет ориентацию плоскости), если любой репер и его образ одинаково ориентированы (противоположно ориентированы). Движения, меняющие ориентацию плоскости, называются движениями второго рода. Теорема. Если аналитическое выражение в ортонормированном репере имеет вид: , где ортогональная матрица, то - движение. При этом, если , то - движение первого рода, а если , то - движение второго рода. Здесь . Примеры движений второго рода: 1) На плоскости возьмем прямую и каждой точке поставим в соответствие точку , симметричную точке относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе относительно этой прямой. Мы получаем преобразование плоскости , которое называется осевой симметрией. Прямая называется осью симметрии. Докажем, что осевая симметрия является движением. Для этого выберем на плоскости прямоугольную систему координат (см. рис.), и запишем аналитическое выражение осевой симметрии. Пусть - произвольная точка плоскости, а - ее образ. Т.к. точки и симметричны относительно оси абсцисс, то . По теореме осевая симметрия является движением второго рода. 2) Скользящая симметрия плоскости – это композиция осевой симметрии и параллельного переноса вдоль ее оси. Аналитическое выражение: . Лемма. Если движение луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо отражение от прямой, содержащей этот луч. Классификация движений второго рода. Уравнения для нахождения координат неподвижных точек движения второго рода: . Определитель этой системы при любом равен нулю, и не все коэффициенты при и равны нулю, поэтому любое движение второго рода либо имеет прямую инвариантных точек, либо не имеет ни одной инвариантной точки. 1) Движение имеет прямую инвариантных точек. Пусть - какой-нибудь луч этой прямой. Т.к. , то по лемме - либо тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но тождественное преобразование является движением первого рода, поэтому - осевая симметрия. 2) Движение не имеет инвариантных точек. Выберем ортонормированный репер так, чтобы точки и лежали на инвариантной прямой . Пусть . Если точка имеет координаты , то точка имеет координаты . Предположим, что аналитическое выражение движения в репере имеет вид: . Из условий получаем: , поэтому формулы принимают вид: . Докажем, что , где – параллельный перенос на ненулевой вектор , а - отображение от прямой . В самом деле, преобразования и в репере определяются формулами: поэтому отображение определяется формулами . В этом случае движение называется скользящей симметрией. Ясно, что скользящая симметрия не имеет инвариантных точек и имеет только одну инвариантную прямую.