- •1.Процент.Знаходження процентів від даного числа. Знаходження числа за його процентом
- •3.Види множин
- •4. Об'єднання множин,переріз множин,віднімання множин
- •[Ред.]Перетин множин
- •Доповнення та різниця множин
- •5. Поняття матриці. Види матриці
- •6.Транспонована матриця
- •7.Обернена матриця
- •8. Операції над матрицями.
- •10. Визначники 2-го та 3-го порядку. Властивості визначників.
- •11.Лінії в просторі. Види рівнянь площини.
- •12.Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та методи їх розв′язування
- •2. Метод Крамера розв'язування систем лінійних рівнянь
- •3. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •4. Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь
- •Алгоритм методу Гаусса
- •13. Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь
- •Алгоритм методу Гаусса
- •15. Дії з векторами, заданими в координатній формі
- •17.Елементарні функції.Окремі класи ф-їй
- •1 8.Способи задання ф-їй
- •19.Зростання та спадання ф-ії.Достатня умова
- •20. Границя функції.Неперервність ф-ії
- •21.Означення похідної
- •24. Основні теореми диференціального числення
- •27.Загальна схема дослідження функцій
- •Теорема про множину первісних
- •35.Диф.Рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними.
- •Диференціальні рівняння і порядку
- •Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
- •Графічний метод розв’язування злп. Симплекс-метод.
- •40.Основні теореми теорії ймовірності.
- •Теореми множення та додавання випадкових подій.
- •41.Основні поняття математичної статистики
24. Основні теореми диференціального числення
Правило Лопіталя
Нехай функції f(x) і g(x):
диференційовані в деякому околі точки а і в цьому околі g'(x) ≠ 0;
одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а;
3) існує границя відношення похідних цих функцій
Тоді існує границя відношення цих функцій причому
Приклад. За правилом Лопіталя знайти
Теорема Ферма. Якщо диференційована функція у = f(x) у деякій точці С інтервалу (а, b) набуває свого найбільшого або найменшого значення, то в цій точці похідна дорівнює нулю: f’(С) = 0.
Теорема Ролля. Нехай задано функцію у = f (х), неперервну на відрізку [а, b] і диференційовану на інтервалі (а,b). Тоді, якщо f(a) - f(b), то всередині відрізка [а,b] знайдеться точка C (a<C<b), така що f’(C)=0.
Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію y = f(x), неперервну на відрізку [а,b] і диференційовану на інтервалі (а,b). Тоді знайдеться точка , (а< <b), така що похідна функції в цій точці f’'( ) дорівнюватиме відношенню
Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку [а,b] задано дві функції f(x) і φ(x). Якщо ці функції неперервні на відрізку [а, b] і диференційовані на інтервалі (а,b), причому φ’(x) ≠ 0, то на інтервалі (а,b) існує точка (а < < b), така що
25. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично
Нехай С - стала і и та v - диференційовані функції. Тоді:
1. Похідна алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .
2. Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу функцію і першої функції на похідну другої функції:
3. Сталий множник можна винести за знак похідної: ,
де С - константа (число).
Похідна частки двох диференційованих функцій дорівнює дробу, знаменником якого є квадрат знаменника цього дробу, а чисельником - різниця між добутком похідної чисельника на знаменник і добутком чисельника на похідну знаменника:
Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції у = f(u) за проміжним аргументом и на похідну проміжного аргументу за х. Якщо у = f(u(x)), то
27.Загальна схема дослідження функцій
Загальна схема дослідження функції y = f(x)
Перший етап (використання властивостей заданої функції)
1. Область визначення функції y = f(x) |
D(f) |
2. Парність, непарність і періодичність |
f(x)- парна, якщо D(f) – симетрична відносно осі Оу; f(-x) = f(x); f(x)- непарна, якщо D(f) – симетрична відносно початку координат; f(-x) = - f(x); f(x)- періодична, якщо f(x+Т) = f(x) |
3. Точки перетину графіка з осями координат |
а) з віссю Ох: з рівняння f(x) = 0 знаходять х; б) з віссю Оу: x = 0, знаходять значення у = f(0) |
4. Точки розриву. Асимптоти графіка функції у = f(х) |
Вертикальні асимптоти – у точках нескінченного розриву 2-го роду функції у = f(х) Похилі асимптоти: y = kx + b,
|
Другий етап (використання похідної першого порядку)
5. Знайти похідну та критичні точки функції у = f(х) |
f’(х) f’(х)=0 або f’(х) не існує |
6. Проміжки зростання, спадання |
f’(х)>0 – зростає, f’(х)<0 - спадає |
7. Точки екстремуму функції у = f(х) |
Якщо f’(х) змінює знак при переході через х0 з «+» на «-», то х0 = хmax, з «-» на «+», то х0 = хmin |
Третій етап (використання похідної другого порядку)
8. Знайти другу похідну та критичні точки другого роду |
f’’(х) f’’(х)=0 або f’’(х) не існує |
9. Проміжки опуклості, угнутості |
f’’(х)<0 – функція угнута; f’’(х)>0 – опукла |
10. Точки перегину і значення функції в цих точках |
Якщо f’’(х) змінює знак при переході через х0, то х0 – точка перегину |
28. Поняття первісної та невизначений інтеграл
Означення: Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.
Із означення виходить, що первісна F(x) – диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.