15. Дії з векторами, заданими в координатній формі

1. Сумою п-вимірних векторів a = (a_1, a₂,...,a_n) і b = (b₁,b₂,...,b_n) називають п-вимірний вектор а + b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-додатків, тобто а+b = (a₁+b₁,a₂ +b₂,…, a_n+b_n)

Наприклад, якщо а = (1;2;-1), b = (-3;1;0), то а + b = (-2;3;-1).

2. Добутком числа k (скаляра) на n-вимірний вектор a = (a_1, a₂,...,a_n) називається n-вимірний вектор kа, координати якого дорівнюють добутку числа k на відповідні координати ве­ктора а, тобто ka = (ka₁, ka₂, …, ka_n)

Наприклад,якщо а = (1;2;-1), то 3а = (3;6;-3;).

Властивості додавання векторів та множення числа на вектор (k, l - деякі числа):

1. a + b = b + a;

2. (a+b) + c = a + (b + c);

3. k(al) = (kl)a;

4. k(a + b) = ka + kb;

5. (k + l)a = ka + la;

6. a + 0 = a;

7. 1·a = a;

8. 8) Для довільного вектора а існує протилежний вектор -а такий, що а + (-а) = 0.

3. Різницею векторів а і b називають вектор а+ (-b), який позначатимемо а-b.

4. Скалярним добутком (а, b) двох п-вимірних векторів a = (a_1, a₂,...,a_n) і b = (b₁,b₂,...,b_n) називають число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів, тобто (a,b) = a₁ · b₁ + a₂ · b₂+...+a_n ·b_n.

Наприклад, якщо а = (1;2;-1), b = (-3;1;0), то (a,b) = -3 + 2 + 0 = -1

Властивості скалярного добутку векторів:

1)(а,b) =(b,а)

2)(а,b+c) = (a,b) + (a,c);

3)(ka,b) = k(a,b);

4) (а,а) ≥ 0, причому (а,а) = 0 тоді і тільки тоді, коли а = 0.

17.Елементарні функції.Окремі класи ф-їй

Основні властивості функцій

Функція у = f(х) називається парною, якщо область її ви­значення D(f) симетрична відносно початку координат (коли х є D(f), то і -х є D(f) і для всіх х є D(f) виконується рівність f(-x)=f(x)

Функція у=f(х) називається непарною, якщо область її визначення D(f) симетрична відносно початку координат і для всіх х є D(f) виконується рівність f(-x)=-f(x).

Графік парної функції симетричний відносно осі орди­нат, а графік

непарної - відносно початку координат. Якщо для функції у=f(х) не виконується ні умова f(-x)=f(x), ні f(-x)=-f(x), то функцію вважають ні парною, ні непарною.

1 8.Способи задання ф-їй

Основні властивості функцій

Функція у = f(х) називається парною, якщо область її ви­значення D(f) симетрична відносно початку координат (коли х є D(f), то і -х є D(f) і для всіх х є D(f) виконується рівність f(-x)=f(x)

Функція у=f(х) називається непарною, якщо область її визначення D(f) симетрична відносно початку координат і для всіх х є D(f) виконується рівність f(-x)=-f(x).

Графік парної функції симетричний відносно осі орди­нат, а графік непарної - відносно початку координат.

Якщо для функції у=f(х) не виконується ні умова f(-x)=f(x), ні f(-x)=-f(x), то функцію вважають ні парною, ні непарною.

19.Зростання та спадання ф-ії.Достатня умова

Зростання та спадання функції, достатня умова

Функція у = f(x) називається зростаючою на інтервалі (а,b), якщо більшому значенню аргументу з цього інтервалу відповідає більше значення функції, тобто якщо з нерівності х₂ > x₁ випливає нерівність f (х₂) > f (х₁).

Функція у = f(x) називається спадною на інтервалі (а,b), якщо більшому значенню аргументу з цього інтервалу відпові­дає менше значення функції, тобто якщо з нерівності х₂ > х₁, ви­пливає нерівність f (х₂) < f (x₁).

Достатня умова зростання (спадання) функції

Якщо в кожній точці інтервалу (a,b) f'(x)>0, то функція у = f(х) зростає на цьому інтервалі.

Якщо в кожній точці інтервалу (a,b) f'(x)<0, то функція y = f(x) спадає на цьому інтервалі.