40.Основні теореми теорії ймовірності.

Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій

З формул для обчислення умовної ймовірності безпосередньо випливає теорема множення ймовірностей (для двох подій).

Теорема 1. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовір­ності однієї з них на умовну ймовірність другої при умові, що відбулась перша, тобто P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

Теорема 2. Для довільних подій А₁, А₂,..., А_п справедлива формула

P(A₁A₂…A_n) = P(A₁)P(A₂/A₁)…P(A_n/A₁A₂…A_n-1)

Означення 13. Кажуть, що подія А не залежить від події В, якщо умовна і безумовна ймовірності події А рівні, тобто Р(А/В)=Р(А). Можна довести, що якщо А не залежить від В, то:

1) В не залежить від А;

2. А не залежить від ;

3. не залежить від В;

4) не залежить від .

Для незалежних подій теорема множення набуває найпростішого вигляду.

Теорема 3. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добу­тку їх ймовірностей, тобто P(AB) = P(A)P(B).

Зауваження. На практиці незалежність подій встановлюють виходячи з інтуїтивних міркувань, наприклад, відсутності причинного зв'язку, симетрії тощо.

Означення 14. Події А₁, А₂,…,А_п називаються незалежними в суку­пності, якщо для будь-яких справедлива рівність та попарно незалежними, якщо для будь-яких і ≠ j .

Очевидно, що події незалежні в сукупності є також попарно незалежни­ми.

Теорема 4. Для незалежних в сукупності подій ймовірність їх добутку дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто

2. Теореми множення та додавання випадкових подій.

Теорема додавання і множення ймовірностей

Для сумісних подій А і В теорема додавання ймовірностей стверджує,

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Для обчислення ймовірності добутку подій можемо використати теорему множення ймовірностей. Зокрема, якщо події залежні, то

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В/А) або Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(А/В).

Для незалежних подій ці формули набувають вигляду

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В).

Ці рівності є математичним записом теореми додавання і множення ймовірностей для двох подій.

41.Основні поняття математичної статистики

Математична статистика - розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки і використання статистичних даних для наукових і практичних висновків та застосувань.

1. Оцінка ймовірності. Нехай деяка випадкова подія має ймовірність р>0, але її значення нам невідоме. Виникає необхідність оцінити цю імовірність за результатами експериментів, тобто маємо задачу про оцінку ймовірності через частоту.

2. Оцінка функції розподілу. Досліджується деяка випадкова величина, точний вираз для функції розподілу якої нам невідомий. Потрібно за результатами експериментів побудувати наближений вираз для цієї функції.

3. Оцінка параметрів розподілу. Можлива ситуація, коли нам відомо аналітичний вираз для функції розподілу F(x,a_1, а₂,...,а_п) випадкової величини, що вивчається, але невідомо значення параметрів а_і, і = 1,п , від яких їх вона залежить. Потрібно за результатами проведених експериментів оцінити значення параметрів.

4. Надійні інтервали. В деяких випадках потрібно оцінити не точне значення якогось параметру, а з ймовірністю, близькою до 1, вказати інтервал, в якому він знаходиться. Такий інтервал, кінці якого є випадковими величинами, називається надійним інтервалом, а самі кінці - надійними межами.

5. Емпіричні формули. Досліджуються випадкові величини ξ і η, між якими існує функціональна залежність (лінійна або нелінійна). Конкретний вигляд функціональної залежності, встановлений за результатами експериментів, називається емпіричною формулою. Ця формула, як правило, утримує деякі параметри. Наприклад, у випадку лінійної залежності таких параметрів два. Потрібно обчислити ці параметри і виписати емпіричну формулу.

6. Перевірка статистичних гіпотез. Досліджується деяка випадкова величина. Виходячи з певних міркувань, висувається гіпотеза, що ця величина розподілена, наприклад, за показниковим законом. Потрібно за результатами експериментів прийняти або відхилити цю гіпотезу.

Для розв’язування цього ряду типових задач математичної статистики використовують поняття і методи теорії ймовірностей. Тому можна вважати, що теорія ймовірностей є теоретичною основою математичної статистики.