Алгоритм методу Гаусса

4. Скласти розширену матрицю системи.

5. Зробити так, щоб коефіцієнт а₁₁=1. Для цього можна поміняти рядки місцями, або поділити перший рядок на а₁₁ .

6. У першому стовпці під коефіцієнтом 1 зробити всі ну­лі. Для цього помножити перший рядок послідовно на -а₂₁, -а₃₁ , ..., -а_т1 і додати відповідно до другого, третього, ..., т-го рядків.

4. Зробити так, щоб коефіцієнт а₂₂ = 1, а під ним були нулі.

5. Описані дії повторити для всіх діагональних елементів (з однаковими індексами).

6. Знайти ранги основної і розширеної матриці системи.

7. За останньою матрицею скласти систему лінійних рів­нянь та дослідити її:

4. якщо ранги основної і розширеної матриці не рівні, то система розв'язків не має;

5. якщо ранги основної і розширеної матриці рівні та ранг системи дорівнює кількості невідомих, то система має єди­ний розв'язок.

Його шукають так: з одержаної системи послідовно, по­чинаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять усі інші невідомі.

6. якщо ранги співпадають, але ранг системи s менший, ніж кількість невідомих п, то ця система невизначена. Розв'язки її шукають так: перші s невідомих x₁, x₂,...,x_s, які називаються ба­зисними визначають через інші невідомі х_s+1, x_s+2, …, x_n, які називаються вільними.

х ₁ = а_1,s+1х_s+1 + ... + а_1nх_п + b₁,

……………………………….- загальний розв'язок системи.

х_s = а_{s, s+1}х_s+1 + ... + а_snх_п = b_s.

Якщо замість x_s+1, x_s+2, ..., x_n підставити конкретні числові значення, то отримаємо частинний розв'язок системи. Зокре­ма, якщо x_s+1=0, x_s+2=0, ..., x_n=0, то одержимо розв'язок (b₁, …, b_s, 0, …, 0), який називають базисним.

14. N - вимірний вектор.

Скалярними величинами називаються величини, які характеризуються лише числовим значенням (довжина, площа, температура).

Векторними величинами називаються величини, які визначаються не тільки числовим значенням, а й напрямком (швидкість, сила, прискорення).

Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого зазначено, яка з його точок є першою (початок вектора), а яка - другою (кінець вектора).

Вектор , або вектор : А — початок, В — кінець вектора

Довжиною (модулем) вектора (позначається називають довжину відрізка, що зображує вектор.

N-еимірним вектором називають упорядковану сукупність п дійсних чисел, яка записується у вигляді = (а₁, а₂,.., а_п)

Числа а_1, а₂,..., а_п називають координатами (компонентами) вектора . Число п називають розмитістю вектора a.

Поняття п-вимірного вектора широко використовується в економічних задачах

Множина всіх п-вимірних векторів називається п-вимірним простором і позначається R".

1⁰. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати, тобто (а₁, а₂,.., а_п) = (b₁,b₂,.., b_п), якщо а₁=b_l,a₂=b₂,...,a_п=b_п.

2⁰. Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо всі його координати дорівнюють нулю.

3⁰. Вектор -a = (-a_],-a₂,...-a_n) називається протилежним вектору a = (a_l,a₂,...,a_n).

4⁰. Два ненульові вектори a = (a_1,a₂,...,a_n) і b = (b₁,b₂,...,b_n) називаються колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

5⁰. Вектор називається одиничним (нормованим), якщо його довжина дорівнює одиниці.

6⁰. Одиничні вектори, які мають напрями додатних коорди­натних півосей, називаються координатними векторами (ор­тами): (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

7⁰. Два вектори називаються перпендикулярними (взаємно ортогональними), якщо сума добутків відповідних координат векторів (скалярний добуток векторів) дорівнює нулю.