Примеры систем массового обслуживания: а) Автоматизированная система управления технологическим процессом.

В этом случае источниками требований являются технологические установки и оборудование. Требованиями являются запросы на решение задач управления. Пунктами обслуживания являются контроллеры, рабочие станции. Выходным потоком требований являются решенные задачи управления.

б) Производственные предприятия.

В этом случае источниками требований являются заказчики продукции. Требованиями являются заявки, договора на изготовление продукции. Пунктами обслуживания являются цеха и службы предприятия. Выходным потоком является готовая продукция отгружаемая заказчикам по договорам и заявкам.

Анализ и прогнозирование поведения сложных объектов и процессов, имеющих структуру рис.4.1. выполняется методами теории массового обслуживания.

Рассмотрим некоторые основные понятия и определения:

1. Последовательность событий будем называть потоком. Поток, состоящий из требований на обслуживание, называется потоком требований.

2. Поток требований, поступающих в обслуживающую систему, называется входящим потоком, поток требований, покидающих обслуживающую систему, называется выходящим потоком.

3. Первопричину возникновения требований, независимо от их физической природы, будем называть источником.

4. Совокупность очередей и приборов обслуживания будем называть обслуживающей системой.

5. Требования, ожидающие обслуживания, находятся в накопителе, образуя одну или несколько очередей.

6. Алгоритм постановки требований в очередь называется правилом формирования очереди.

Классификация основных моделей СМО.

1. По характеру источники требований. Различают источники с конечным числом требований, источники с бесконечным числом требований.

2. По отсутствию или наличию ожидания для требования. Для систем с отказами, требования поступившие в момент, когда все приборы заняты получают отказ, покидают систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвуют.

Системы с ожиданием делятся на системы с неограниченным ожиданием и системы с ограниченным ожиданием (накладываются ограничения на длину очереди, на время ожидания, после чего требования покидает очередь и уходит).

3. По числу приборов (один обслуживающий прибор – одноканальная СМО, несколько приборов – многоканальная СМО).

4. По числу этапов, фаз обслуживания различают однофазные и многофазные системы.

5. По правилу формирования очереди различают системы с общей очередью и с несколькими очередями.

6. По правилу обслуживания. С приоритетом и без приоритета.

Математическим аппаратом анализа систем является теория массового обслуживания.

4.2 Элементы теории массового обслуживания.

Таким образом, общая функциональная схема СМО будет иметь вид:

Рис.4.2. Функциональная схема СМО.

Здесь:  - интенсивность входного потока. ]

 - интенсивность выходного потока заявок.

Размерность и будет . Если , то в СМО будут очереди, такое СМО называется с ожиданием.

Поток заявок Пуассона.

Определение: Если поток заявок стационарен, ординарен и не имеет последствия, то он называется простейшим потоком или потоком Пуассона.

1. Поток заявок называется стационарным, если вероятность попадания числа заявок на участок времени длиной  зависит только от длины участка, а не от места где он расположен. Т.е распределение заявок во времени равномерное.

2. Поток заявок называется ординарным, если вероятность попадания на бесконечно малый участок  двух и более заявок мала по сравнению с вероятностью попадания одной заявки.

3. Поток называется без последствия, если число заявок, попадающих на один участок, не зависит от числа заявок, попадающих на другие участки. (участки не

перекрываются)

Для потока Пуассона вероятность поступления за время t ровно m заявок:

(4.1)

Вывод о том, что принятый процесс с достаточной вероятностью описывается пуассоновским распределением, проверяются по критерию Х².

Расчётное значение: (4.2)

где ; m_i – количество заявок поступивших в пределах одного интервала времени t; всё время делится на k интервалов, где i=1,2, … k; n – общее количество заявок.

Для числа степеней свободы r=k-2 и величина Х² определяют вероятность P.

Если , то гипотезу о Пуассоновском законе распределения заявок можно признать правдоподобной.

Марковские процессы.

Процессы массового обслуживания являются дискретными процессами с конечным числом состояний и непрерывным временем. Переход из одного состояния в другое происходит в момент, когда наступают какие-то события, вызывающие такой переход (поступление нового требования, начало или конец обслуживания, уход требования из очереди). Будущее состояние процесса зависит только от состояния в настоящий момент и не зависит от того, как происходило развитие процесса в прошлом. Такие процессы называются марковскими.

М арковский процесс может быть представлен графически графом состояний.

Рис.4.3. Граф состояний.

Зафиксируем момент t и найдём вероятность P_k(t+t) того, что в момент t+t система будет в состоянии S_k. Так как система может оставаться в прежнем состоянии или переходить только в соседнее состояние, то P_k(t+t)=P(A)+P(B)+P(C), где А,В,С – несовместимые события.

Событие А означает, что система за время t не изменила своего состояния S_k, а события В и С означают, что переход в S_k произошёл соответственно из состояний S_k-1 и S_k+1.

Пусть система в момент t находилась в состоянии S_i и вероятность того, что за время t она перейдёт в состояние S_j равна P_ij(t).

Величину (4.3) называют плотностью вероятности перехода. При достаточно малом t имеет место, приближенное соотношение: .

Очевидно, вероятность того, что система за время t не перейдёт из состояния i в состояние j выражается как: .

Выразим вероятностb событий А,В,С через вероятности состояний и плотности вероятностей перехода. (членам t², высших порядков малости по сравнению с t пренебрежем).

1-P_k,k-1(t) 1-P_k,k+1(t)

P(A)P_k(t)(1-_k,k-1t)(1-_k,k+1t)P_k(t)[1-(_k,k-1+_k,k+1)t] (4.4)

P(B)P_k-1(t)_k-1,kt, где (_k–1,kt)=P_(k-1),k (4.5)

P(C)P_k+1(t)_k+1,kt, где (_k-+1,kt)=P_(k+1),k (4.6)

На основании этих соотношений имеем:

P_k(t+t)=P_k(t)[1-(_k,k-1+_k,k+1)t]+P_k-1(t) _k-1,kt+P_k+1(t) _k+1,kt (4.7)

или: (4.8)

Переходя к пределу при t0, получим:

(4.9)

Анологично записываются дифференциальные уравнения для вероятностей других состояний системы и получают систему дифференциальных уравнений вероятностей состояний системы массового обслуживания.

Существует правило, согласно которому дифференциальное уравнение вероятности состояния возможно записать непосредственно по графу системы.

Производная вероятности k-го состояния равна алгебраической сумме членов каждый из которых представляет собой произведение веса дуги инцидентной k–той вершине на вероятности k-го, (k+1)-го, (k-1)-го состояний, причём вес дуги берётся положительным, если дуга входит в k-е состояние и отрицательным, если дуга выходит из k-го состояния.

Полученную систему уравнений называют системой дифференциальных уравнений Колмогорова.

При системном анализе поведения сложных объектов или процессов, часто исследуют предельное или стационарное состояние системы при t. В этом случае все

производные и система дифференциальных уравнений превращается в систему алгебраических уравнений, которая может быть решена относительно неизвестных вероятностей состояний P_k.