Промежуточная таблица

№ п/n	X	X – A	(X – A)/i
1	2	3	4	5
1	3240	–4260	–4,26	18,1476
2	4200	–3300	–3,3	10,89
3	4400	–3100	–3,1	9,61
4	4800	–2700	–2,7	7,29
5	5000	–2500	–2,5	6,25
6	5250	–2250	–2,25	5,0625
7	5400	–2100	–2,1	4,41
8	5800	–1700	–1,7	2,89
9	6450	–1050	–1,05	1,1025
10	6560	–940	–0,94	0,8836
11	6800	–700	–0,7	0,49
12	6890	–610	–0,61	0,3721
13	6900	–600	–0,6	0,36
14	7100	–400	–0,4	0,16
15	7215	–285	–0,285	0,081225
16	7640	–140	0,14	0,0196
17	8100	–600	0,6	0,36
18	8250	–750	0,75	0,5625
19	8500		1	1
20	8500	1000	1	1
21	8700	1200	1,2	1,44
22	8740	1240	1,24	1,5376
23	8760	1260	1,26	1,5876

Окончание табл. 22

№ п/n	X	X – A	(X – A)/i
24	8900	1400	1,4	1,96
25	8900	1400	1,4	1,96
26	9600	2100	2,1	4,41
27	9680	2180	2,18	4,7524
28	10200	2700	2,7	7,29
29	11500	4000	4	16
30	12000	4500	4,5	20,25
Сумма	223975	–	–1,025	132,129225
Итого	–	30	–
Итого	30	–	–17,4218	271,7219

Таким образом

;

;

;

и далее ,

где М₁ – центральный момент 1-го порядка; М₂ – центральный момент 2-го порядка

; .

При проведении расчетов по групповым данным имеем: А = 7672,00 (в качестве А принимается серединное значение дискретного ряда (6845,00+8499,00)/2=7672,00), i = 1500. Последовательность расчетов следующая.

Таблица 23

№ п/n	Нижние и верхние границы интервалов
1	3000–4500	3946,67	3	–7,45067	18,50414
2	4500–6000	5250,00	5	–8,0733	13,03557
3	6000–7500	6845,00	7	–3,85933	2,12778
4	7500–9000	8499,00	10	+5,51333	3,03396
5	9000–10500	9826,17	3	+4,309333	6,19011
6	10500–12000	11750,00	2	+5,43733	14,78229
Итого	–	–	50	–4,12333	57,67976

S = 1……K; K – число групп,

; .

Согласно приведенным формулам получаем:

.

Не трудно видеть, что средние величины, рассчитанные по индивидуальным и групповым данным полностью совпали между собой. Между дисперсиями имеется незначительное различие. В общем случае систематическая ошибка в дисперсии или ошибка Ф. Шепарда составляет 1/12 квадрата величины интервала, т.е. скорректированная дисперсия равна σ = (1/12) · i². Ее применение, однако, допустимо при определенных условиях: а) группировка должна формироваться на основе большого числа наблюдений (n>500); б) характеризоваться тесной близостью с осью абсцисс на концах кривой.

По пункту 2 в интервальном вариационном ряду М₀, М_е ДКД рассчитываются по следующим формулам:

где М₀ – мода, наиболее часто повторяющееся значение признака; X – нижняя граница значения интервала содержащего моду; i – величина интервала; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; – частота интервала, следующего за модальным.

,

где М_е – медиана, серединное значение признака; Х – нижняя граница значения интервала содержащего медиану; i – величина интервала; – сумма частот; – сумма накопленных частот предшествующих медианному интервалу; – частота медианного интервала.

Моду и Медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является во всех случаях модальным и его вершины соединяются с вершинами предшествующего и последующего прямоугольников. Абсцисса точек пересечения этих прямых и будет модой ряда распределения.

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для чего из точки на шкале постоянных частот, соответствующей 50% проводится прямая параллельная оси абсцисс до пересечения с асимптотой. Затем из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс и медиана определена

ДКД =

где ДКД – децильных коэффициент дифференциации; – 9-я дециль; – 1-я дециль.

Дециль в общем случае делит ранжированный ряд на 10 равных частей. 1-я дециль делит ряд в соотношении 1 и 9, 2-я дециль = 2 и 8 и т.д., а 9-я дециль делит ряд в соотношении 9 и 1.

1-я дециль – это значение признака Х₁ – которое отсекает 10% единиц наблюдения, имеющих наименьшие численные значения признака. 9-я дециль – это значение признака Х₁, которое отсекает 10% единиц наблюдения, имеющих наибольшие численные значения признака.

Расчеты децилей производятся по формулам медианы, с учетом того, что совокупность делится не пополам, а на 10 равных частей в названных соотношениях.

где – нижняя граница интервала группы, содержащую 1-ую дециль, i-интервал, – сумма частот, – накопленная сумма частот, предшествующая интервалу, содержащая 1-ую дециль; – частота интервала, содержащая 1 дециль.

где – нижняя граница интервала группы, содержащую 9-ую дециль, i-интервал; – сумма частот; – накопленная сумма частот, предшествующая интервалу, содержащая 9-ую дециль; – частота интервала, содержащая 9-ую дециль.

Расчеты по выше приводимым формулам не представляют каких-либо трудностей. Применительно к нашему примеру имеем следующее.

Таблица 24

№ п/п	Нижние и верхние границы интервалов	Частота f	Накопленные частоты «Cum f»
1 2 3 4 5 6	3000–4500 4500–6000 6000–7500 7500–9000 9000–10500 10500–12000	3 5 7 10 3 2	3 8 15 25 28 30
Итого	–	30	–

i = 1500;

Графически мода и медиана представляется следующим образом:

ДКД раза.

По пункту 3. Для сравнительного анализа степени ассиметрии изучаемого вариационного ряда рассчитывается относительный показатель ассиметрии:

Величина показателя ассиметрии может быть положительной и отрицательной, что указывает на наличие правосторонней или левосторонней ассиметрии.

Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна 0).

Если отношение ассиметрия существенна, если же ассиметрия несущественна, ее наличие может быть определено наличием различных случайных обстоятельств.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности).

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины нормального распределения. В нормальном распределении отношение

Оценки существенности показателей ассиметрии и эксцесса позволяют сделать вывод о том, что можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения.

Определение вышеназванных коэффициентов предполагает расчет условных моментов 3-го и 4-го порядка.

;

и переход центральным моментам 3-го и 4-го порядка. Приведем используемые в статистике формулы перехода от условных моментов к центральным:

и далее:

Ниже приводится последовательность расчетов и полученные результаты по пункту 3 данной задачи

Таблица 25

№ п/n
1	3	3946,67	–45,9061	114,1344
2	5	5250,00	–210483	33,9861
3	7	6843,00	–1,1781	0,6467
4	10	8499,00	1,6758	0,9239
5	3	9826,67	8,8917	12,7725
6	2	11750,00	40,4218	109,2581
Итого	30	–	–17,4218	214,7219

m₃ = –0,5807; m₄ = 9,0574

M₃ = 698142919,9; M₄ = 4,5341E+13; A₅ = 0,079; E = –0,53.