12.4. Понятие о вырождении "электронного газа"
Проанализируем функцию распределения Ферми – Дирака.
1 ) Пусть , т. е. , тогда при
, т. е. знаменатель стремится к бесконечности. Тогда .
2) Пусть , т. е. , тогда и при тех же условиях ( ) .
3) При для произвольных температур.
4 ) Согласно п.п. 1, 2 функция Ферми – Дирака при Т = 0,К может быть представлена графиком (см. рисунок), из которого следует, что электроны в металле занимают все энергетические уровни вплоть до уровня , т. к. вероятность их заполнения равна единице. Уровни с остаются свободными, т. к. (вероятность заполнения равна нулю).
5) Уровень, вероятность заполнения которого равна т. е. называется уравнением Ферми. Ему соответствует . Следовательно, энергия Ферми представляет собой максимальную энергию, которую могут иметь электроны в металле при абсолютном нуле. и характеризует электрические свойства металла.
6) Если , то при и
.
После интегрирования
,
т. е. число свободных электронов в единице объема металла. Из полученного выражения следует, что .
Как показывает расчет, средняя энергия электрона . После подстановки .
Если бы "электронный газ" был "обычным" газом, то при обратной подстановке или 5,4 эВ = следовало, что . Столь высокие значения температуры свидетельствуют о том, что свойства "электронного газа" резко отличаются от свойств обычного газа, а его распределение не подчиняется законам классической механики, т. е. такой газ находится в "вырожденном" состоянии. Здесь - температура "вырождения".
7 ) Рассмотренное ранее условие , когда статистика Ферми – Дирака переходит в статистику Максвелла – Больцмана - есть условие снятия "вырожде -
ния". Вырождению электронов в металле способствует их ма -
лая масса (m = 10-31 кг) и высо -
кая концентрация (n 1028 м3),
а также низкая температура по сравнению с , при которой находится металл.