Лекция 12. Элементы квантовых статистик

Статистический метод применяется к исследованию систем, состоящих из большого числа однотипных частиц, а установленные закономерности носят вероятностный (статистический) характер. Примером таких систем являются идеальный или реальный газы, а свободные электроны, образующие в металле "электронный газ". Поскольку свойства электрона отличаются от свойств молекул газа, законы статистического распределения этих частиц оказываются различными. Необходимо подчеркнуть, что в квантовой механике необходимость статистического подхода обусловлена "дуализмом" микрочастиц (электронов).

12.1. Виды и особенности статистик

В зависимости от особенностей частиц, образующих систему, различают три статистики:

1. Статистика Максвелла – Больцмана является классической и применяется при статистическом подходе к изучению свойств идеальных или реальных газов (см. "Механика . . .". Лекция 13).

Допущения и подходы:

а) Молекулы газа – материальные точки, которые можно отличить друг от друга, т. е. индивидуальны, поэтому перестановка местами двух молекул, находящихся в разных состояниях, приводит к новому микросостоянию системы.

б) Движение молекул подчиняется законам классической механики. Состояние любой из них однозначно определяют три координаты - и три составляющие импульса - , причем оба параметра могут изменяться непрерывно. Отсюда следует, что возможны состояния бесконечно мало отличающиеся друг от друга координатами, импульсами или энергиями, которые, однако, считаются различными.

в) В фазовом пространстве (шестимерное - ) каждая молекула изображается фазовой точкой.

2. Статистика Бозе – Эйнштейна – является квантовой и применяется к системам частиц с нулевым или целочисленным спином (s = 0, 1, 2 . . . в единицах ). Используется в теории теплоемкости твердых тел и теории излучения.

Допущения и подходы:

а) Бозе - газ – это совокупность частиц или квазичастиц с нулевым или целочисленным спином – бозонов. К ним относятся: фотон (s = = 1), K – и  - мезоны (s = 0), гравитоны (s = 2) и т. д.

б) Движение таких частиц описывается волновым уравнением Шредингера. В результате характеристики движения бозонов, например, импульс или энергия, становятся квантованными, т. е. могут принимать строго определенные значения.

в) Каждое значение, например энергии, соответствует определенному квантовому состоянию, причем в любом таком состоянии может находиться произвольное число микрочастиц (принцип Паули не выполняется).

г) Все микрочастицы тождественны, т. е. неотличимы друг от друга, поэтому перестановка их местами не приводит к появлению нового микросостояния системы.

3. Статистика Ферми – Дирака является квантовой и применяется к системам микрочастиц с полуцелым спином (s = . . . в ед. ) – фермионам. Используется, например, для изучения поведения "электронного газа" в металлах.

Допущения и подходы:

а) Электроны в "электронном газе" неразличимы. Это же справедливо и для бозонов.

б) Электроны обладают волновыми свойствами и их движение описывается волновым уравнением Шредингера. Каждое найденное значение энергии соответствует определенному квантовому состоянию электрона в твердом теле.

в) Электроны подчиняются принципу Паули, т. е. в каждом квантовом состоянии может находиться не более двух электронов, отличающихся друг от друга направлением спинов.

г) Наличие у электрона волновых свойств (соотношение неопределенностей) исключают возможность различить два – состояния: I - с , и II - c ,

, если произведение

.

Это произведение представляет собой элемент

шестимерного фазового пространства или фазовую

ячейку объемом . Эти представления справедливы и для бозонов.

При рассмотрении свободных электронов предполагается, что их во всех точках металла, т. е. распределение электронов во всем объеме - равномерно. В этом случае пользуются обычным трехмерным пространством импульсов , разбивая его на элементарные ячейки размером . В этом случае каждой такой ячейке соответствует отдельное квантовое состояние, отличимое от других.

Таким образом, в классической статистике нет ограничений на величину ячеек, полагая, что они могут быть сколь угодно малыми. Статистики Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака считают, что физический смысл имеют только такие ячейки, размер которых не менее - для шестимерного фазового пространства или - для трехмерного пространства импульсов.

Различия между статистиками легко заметить при подсчете, например, числа возможных распределений двух частиц ( ) в сосуде из 2-х частей с учетом изложенных выше допущений и подходов. Подобная задача для четырех молекул ( ) рассмотрена ранее (см. "Механика . . .". Лекция 13).

a b a a a a

a b a a

a b a a

b a

О бъемы I II I II I II

Статистика М – Б Б – Э Ф – Д

Число микро -

состояний 4 3 1