Лекция 2. Дифракция света

Явление дифракции состоит в том, что световые волны как бы "огибают" непрозрачные препятствия, проникая в область геометрической тени, т.е. нарушаются законы геометрической оптики, причем явление наблюдается при условии, что размер препятствия (это справедливо для малых отверстий или щелей) соизмерим с .

2.1. Принцип Гюйгенса – Френеля

П усть на препятствие с двумя щелями падает плоская волна с интенсивностью I₀. Принцип Гюй-

генса: "Каждая точка до которой доходит волновой фронт служит источником вторичных волн, которые в однородной изотропной

с реде будут сферическими. Оги- Из теории колебаний (см. "Ме -

бающая АВ вторичных волн (при ханика . . . ". Лекция 7) геометри-

t = const) и проникает в область ческое место точек, колеблю –

геометрической тени". Дополне - щихся в одной фазе, называется

ние Френеля: "Вторичные вол - волновой поверхностью. Для

ны являются когерентными и в плоской волны - это система па-

результате суперпозиции интер - раллельных плоскостей (прямых),

ферируют". В данном случае сферической – система сфер ( ок -

плоскость щелей совпадает с ружностей). Одна из волновых по-

с фронтом падающей волны. На верхностей (t = const), разделяю –

рисунке изображена только часть щая пространство на две части, в

волновых поверхностей вторич- которых есть и нет колебаний – на-

ных сферических волн, распро - зывается фронтом волны.

страняющихся в направлении

(показано стрелками) экрана.

П усть S – одна из волновых поверхностей вторичной волны, тогда в произвольной т. Р результирующее колебание описывается уравнением

где А₀ - амплитуда колебания в том месте, где находится dS, ( t + ₀) - фаза колебания там же, dS - элементарная площадка волновой поверхности S, k - волновое число, r - расстояние от dS до т. Р, К() - коэффициент пропорциональности, зависящий от величины угла . При увеличении  величина К() - уменьшается, если то К()  0 (мал.).

Анализ.

а) Приведенное соотношение можно рассматривать как математическое выражение принципа Гюйгенса – Френеля. Подынтегральное выражение с точностью до постоянной совпадает с уравнением сферической волны.

б) При расчете амплитуды световых колебаний, возбуждаемых некоторым источником S₀ в произвольной т. Р, этот источник можно заменить эквивалентной ему системой вторичных источников (участков dS), любой вспомогательной поверхности S, охватываемой S₀ и не охватываемой т. Р.

в) Вторичные источники dS когерентны S₀ и между собой, поэтому возбуждаемые ими вторичные волны интерферируют при наложении.

г) Амплитуда колебаний, возбуждаемых в т. Р вторичной волной (вторичным источником dS), есть где A₀ – амплитуда первичной волны в точках элемента dS.

д) Расчеты по полученному выражению достаточно сложны, кроме некоторых симметричных случаев.

2.2. Метод зон Френеля

Дано: Из источника (S) в однородной среде распростра –

няется сферическая (вторичная) волна.

Найти: амплитуду (А) результирующего колебания в

т. Р от всей волновой поверх –

ности (см. рис.).

Т очки S и P лежат на прямой SP и волновая поверхность симметрична относительно SP. Для это -

г о случая Френель разбил волновую поверхность на зоны (центральная – первая, всего - m), причем расстояние от края каждой зоны до т. Р отличается на /2, где  - длина волны в данной среде, т.е. расстояние от края m - зоны до т. Р есть b_m = b + m Здесь m - номер зоны. Такое разбиение приводит к тому, что колебания от соответствующих точек двух соседних зон (края зоны, середина и т.д.) будут приходить в рассматриваемую точку в противофазе (разные знаки), т. е. отличаться на .

Вычислим площадь зон. При

(min)

Площадь сферического сегмента S = 2 R h, (заштрихован на рисунке), где R - радиус сферы, h - высота сегмента. В нашем случае S_m = 2 ah_m . В этом сегменте находится m - зон, тогда площадь m - ой зоны S ^m = S_m – S_m-1. Здесь S_m-1 – площадь (m - 1) – ой зоны.

Вычислим величину h_m.

После преобразований:

2ah_m + 2bh_m = bm или 2h_m(a + b) = bm .

Отсюда  - мало, - тем более,

. поэтому

Определим: площадь сферического сегмента, содержащего m – зон, и площадь одной зоны.

Пусть в сегменте, например, 6 - зон, тогда площадь шестой зоны S ⁶ = S₆ – S₅. Отсюда Итак, площадь m - зоны равна , т.е. при небольших m площади зон Френеля одинаковы, т.к. S^m не зависит от m.

В ычислим радиусы зон Френеля.

При малых m (из рис.) h_m << a, т.е. h_m мало. SKN:

Тогда h²_m  0 и r²_m = a² – (a – h_m)² =

Итак, радиусы зон Френеля изменяются как корень квадратный из m, т.е. r_m  .

Результирующее колебание в т. Р, согласно принципу Гюйгенса – Френеля,

Проведем анализ:

1) b_m = b + m , т.е. b_m увеличивается с ростом m (числа зон). Формально b_m соответствует величине r.

2) r_m – радиус сегмента, который при увеличении числа m возрастает как r_m  . Формально r_m – это A₀.

3) С увеличением числа зон угол  - возрастает, а K() - уменьшается.

4) S_m = const - площадь зон не зависит от m. S_m - это dS.

Все эти факторы приводят к тому, что амплитуды колебаний, возбуждаемые в т. Р соответствующими зонами Френеля, начиная с первой зоны, образуют монотонно убывающую последовательность

A₁ > A₂ > A₃ > … > A_m-1 > A_m > A_m+1,

причем амплитуды колебаний от двух соседних зон близки, а амплитуда A_m – колебания (от m - зоны) в т. Р монотонно убывает при возрастании числа m. Кроме того,  - от двух соседних зон равна , поэтому

A_рез = A₁ - A₂ + A₃ –A₄ + ………. .

Итак, амплитуда результирующего колебания может быть найдена алгебраически, причем амплитуды нечетных зон – положительны, четных – отрицательны.

Из полученного выражения следует:

1) Прямолинейное распространение света.

Результирующую амплитуду (А_рез) можно представить в виде:

.

С учетом уменьшающейся последовательности например,

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3

т.е. амплитуда результирующего колебания, соз –

даваемая в т. Р всей сферической волновой по –

верхностью, равна половине амплитуды, одной

центральной зоны. Или действие всей волновой поверхности эквивалентно действию половины центральной зоны. Кроме того, свет распространяется прямолинейно в пределах узкого канала (центральной зоны): .

2) Если размер щели совпадает с площадью первой зоны, то

т. е. усиление интенсивности будет в 4 - раза.

3 ) Поскольку каждое колебание от соответствующей зоны может быть представлено в виде вектора, причем А₁  А₂ и ₁  ₂, то - есть вектор, соединяю -

щий концы и и сумма колебаний будет представлять со -

бой спираль с характерными точками О, 1, С, 2. Фазы в т. О и т.1 отличаются на , то участок О1 – соответствует первой зоне Френеля. Вектор - это колебание 1 - ой зоны. Вектор

- это колебание 2 - ой зоны, причем и - происходят в противофазе. Отсюда - это результирующее колебание от всей волновой поверхности. Полученное выражение называется графическим методом нахождения результирующей амплитуды: .