Лекция 9. Элементы квантовой механики

Для объяснения свойств твердых тел и зависимости этих свойств от атомноэлектронной структуры вещества используются статистические и квантовомеханические представления.

9.1. Дуализм света. Формула л. Де - Бройля

В явлениях интерференции, дифракции, дисперсии, поляризации, поглощения и рассеяния свет проявляет волновые свойства (волновая теория, см. Лекции 1 - 5), т. е. свет - ЭМВ с и

.

В явлениях теплового излучения и фотоэффекта (см. Лекции 6, 7) свет представляет собой поток фотонов (корпускулярная теория) с или и .

Таким образом, свет одновременно может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства (дуализм света).

Де - Бройль высказал гипотезу: "Дуализм свойственен и другим микрочастицам: электронам, протонам, в отдельных случаях атомам, ионам и т. д. - т. е. имеет универсальную природу".

Из гипотезы следует:

1) Дуализм присущ всем микрочастицам (МЧ), не только фотонам.

2) Если существует микрочастица с и , то ей соответствует волна с , которая называется волной де-Бройля.

3) Соотношения - называются соотношениями де - Бройля.

4) Волны де - Бройля имеют квантовую природу, т. е. вероятностное, статистическое толкование и не имеют аналогов в классической механике.

5) К. Девидссон и Л. Джермер наблюдали дифракцию электронов от Ni - пластины и подтвердили, что как и для рентгеновских лучей (см. Лекция 3), для электронов справедлива формула Вульфа – Бреггов, т. е. .

6) Т. Томпсон и Л.В. Тартаковский, изучая спектры электронов и рентгеновских лучей, показали их идентичность, т. е. сделали вывод, что электрон обладает волновыми свойствами.

7) О. Штерн наблюдал дифракцию у атомных и молекулярных пучков. Полученные интерференционные картины оказались идентичны световым.

8) В.А. Фабрикант, Н.Г. Сушкин и Л.М. Биберман, изучая дифракцию электронов, установили, что даже отдельный электрон обладает волновыми свойствами.

Этими экспериментами было доказано, что микрочастицы сочетают в себе одновременно корпускулярные и волновые свойства (дуализм). Эти свойства, применительно к электронам, можно сформулировать следующим образом:

а) Электрон - это сложное материальное образование со структурой, зависящей от свойств окружающей среды и обладающий волновыми свойствами.

б) Корпускулярная природа электрона проявляется в том, что он действует как единое целое, не делясь на части.

Итак, качественным отличительным признаком всех микрочастиц является одновременное сочетание в них корпускулярных и волновых свойств, причем волновыми свойствами обладают не совокупность, а каждая из частиц в отдельности.

9.2. Уравнение Шредингера

Качественное отличие микрочастиц от материальных точек, используемых в классической физике, требует и нового подхода к описанию их движения. Так как микрочастица обладает волновыми свойствами, то закон ее движения должен определяться законом распространения соответствующих волн, т. е. волн де - Бройля, и удовлетворять, как и в классической механике, волновому уравнению.

Приведем формальный вывод такого уравнения.

Пусть плоская волна распространяется вдоль (плоский случай). Подбором времени пусть ₀ = 0, тогда в

к омплексной форме

.

Перейдем к новой функции ,

которая связана с волной де - Бройля

и воспользуемся соотношением где - кинетическая энергия, - импульс микрочастицы.

Таким образом,

или с учетом

,

окончательно

.

Анализ:

1) Как и в классической механике (см. "Механика . . .". Лекция 7) это дифференциальное уравнение 2-го порядка - есть волновое уравнение.

2) Полученное выражение в квантовой механике называется уравнением Шредингера.

3) Если микрочастица движется в пространстве ( ), то

, где  - оператор Лапласа.

4) Если микрочастица движется в силовом поле, т. е. обладает потенциальной энергией , тогда , а волновое уравнение имеет вид:

.

Во втором слагаемом - появляется после домножения обеих частей полученного тождества (см. вывод).

Или

.

Полученное выражение называется полным уравнением Шредингера и описывает движение микрочастицы в силовом поле.

5) Функция - являющаяся решением волнового уравнения, называется волновой функцией. Вид ее зависит от характера сил поля, в котором движется микрочастица. Эта функция комплексная, поэтому физический смысл имеет произведение ^*, где * - комплексно сопряженная функция. В этом случае ^* - есть действительное число.

6) Величина - это вероятность того, что микрочастица в любой момент времени находится в выделенном объеме . Так как вероятность не может быть величиной неоднозначной, бесконечной или изменяющейся скачком, то функция должна быть непрерывной, однозначной, иметь любую производную и конечные значения во всех точках пространства.

7) Из 6) - это условие нормировки. Функция, удовлетворяющая данному уравнению, называется нормированной. С другой стороны, физически данное выражение (условие) означает достоверный факт (вероятность равна единице), что микрочастица находится действительно в выделенном объеме.

8) Уравнение Шредингера можно записать и в виде

После замены

9) Уравнение Шредингера в квантовой механике и

играет ту же роль, что и уравнение второго за - соответствую -

кона Ньютона в классической, т. е. – это урав - щего домноже-

нение движения микрочастицы. Таким образом, ния левой части

задать закон движения микрочастицы означает на

задать волновую функцию в любой момент времени и в любой точке пространства.