Лекция 3. Дифракция света (продолжение)

3.1. Дифракционная решетка

Простейшая дифракционная решетка (одномерная) представляет собой систему из большого числа (N) одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Обозначим ширину одной щели через , а величину промежутка - b, тогда d = + b - называется периодом (постоянной) дифракционной решетки.

Д ано: на дифракцион -

ную решетку (ДР) падает плоская монохромати -

ческая волна и плоскость щелей совпадает с фрон-

том падающей волны.

Найти: А_рез (I_рез) в лю -

бой точке (или картину) на экране (Э).

При освещении ДР монохроматическим светом  = const дифракционная картина на экране будет значительно сложнее, чем в случае одной щели, т.к. свет от разных щелей интерферирует дополнительно. Как и в предыдущем случае (одна щель) А_рез (I_рез) можно вычислить, рассчитав соответствующий интеграл, что достаточно сложно.

Воспользуемся методом зон. В данных условиях колебания в соответствующих точках всех щелей происходят в одной фазе, т.к. они расположены на одной волновой поверхности. Кроме того, при малых m: A_m  A_i и А_рез = , где N - число щелей, а А_i - амплитуда колебаний точки в i - ой щели, причем ее часть, определяемая углом  (линза собирает соответствующие лучи). Поэтому А_рез будет определяться только сдвигом фаз , зависящим от  и . Соответствующие точки двух соседних щелей имеют  = d sin и их можно представить как два когерентных источника. Тогда

или

Окончательно d sin =  n (max), где n = 0,1,2, . . . .

Анализ.

а) Основное назначение ДР - раскладывать белый свет по длинам волн. По способу исполнения различают: плоскую или вогнутую ДР. По способу наблюдения: на отражение или на просвет.

б) Картина на экране симметрична, т.к. ₊ = _-. В центре n = 0 – главный максимум, справа (+) и слева (-) от него максимумы: n =  1 – первого, n =  2 – второго и т.д. порядков.

в) d sin  =  n  (max) или sin  (max) = Полученные значения синусов углов соответствуют главным максимумам интенсивности . Интенсивность света в них

Это выражение получается из расчета интеграла, как и для одной щели (без доказательства).

г) Главные минимумы соответствуют таким углам , для которых A_ (I_) = 0, т.е. свет от разных частей одной только щели в результате интерференции "гасится". Условие главных минимумов, как и для щели, есть

sin  =  n , n = 1, 2, 3, ….

д ) Кроме главных максимумов на экране наблюдается большое число побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами Тогда минимуму слева соответствует sin_min =

= , справа - sin_min = . где n ^ - число. При-

нимает все значе -

ния, кроме крат -

ных числу щелей.

е) Зависимость интенсивности I от sin для ДР можно представить на рисунке.

Т ак как А_рез(ДР) = NA_i, где А_i - результирую-

щая амплитуда коле-

баний от одной щели, а I  A² , то при воз-

растании числа щелей интенсивность долж -

на возрастать, но

уменьшается коли -

чество максимумов.

Таким образом, в мо-

нохроматическом све-

те картина на экране: Nd - узких, ярких максимумов, разделенных широкими темными промежутками.

ж ) Если d₁ = d₂ = d = const, n₁ = n₂ = const, но ₁ > ₂, d₁ sin₁ = n₁ ₁ то из следует, что sin₁ должен быть d₂ sin₂ = n₂ ₂ больше, чем sin₂ и лучи с большим значением  отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Здесь мы впервые сталкиваемся с понятием спектра – это разложение света по длинам волн. Таким образом, при   const на экране наблюдается "неокрашенный" центральный максимум и по обе стороны от него "окрашенные" максимумы (дифракционные спектры), в которых наблюдается переход цвета: фиолетовый  красный (_Ф < _КР).

з) Дифракционная решетка характеризуется линейной и угловой дисперсией, а также разрешающей способностью. Первая и вторая характеристики - это угловое и линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 1 ангстрем ( ), т.е. Д_угл = и Д_лин = Разрешающая способность (R) – это отношение длины волны света () к наименьшему интервалу длины волн (), который может разделить дифракционная решетка, т.е. где n - порядок спектра, N - число щелей.