3.2. Дифракция на пространственных структурах

Пространственной (3–х мерной) дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, например, кристаллическая решетка твердого тела, неоднородность которой повторяется при изменении всех пространственных координат.

Пусть имеем две ДР с перпендикулярным расположением щелей. Пусть на такую систему падает белый свет. Тогда первая решетка (штрихи вертикальные) даст в горизонтальном направлении d₁sin₁ = n₁, где n₁ = 0, 1, 2, …, а вторая "вырежет" из картины участки в вертикальном направлении (штрихи горизонтальные) d₂sin₂ = n₂, где n₂ = 0, 1, 2, …. Результирующая картина на экране будет представлять собой систему светящихся точек, каждой из которой можно приписать два индекса: , где i - соответствует значениям n₁, а – значениям n₂ от соответствующих ДР.

Такую же картину дадут 2-х мерные периодические структуры или система небольших отверстий (система непрозрачных шариков). Так как каждой точке можно приписать значения n₁ и n₂, то измерив ₁ и ₂, а также зная , можно рассчитать периоды (d₁ и d₂) структуры.

И з полученных ранее выражений следует, что для

получения подобной картины необходимым ус –

ловием должно быть: d > , так как n - число.

Дифракцию можно наблюдать и на 3-х мерных структурах (твердые тела, где ). В этом

случае из , следует, что  должна

соответствовать рентгеновским лучам

( 10^-9 м).

Рассмотрим цепочку атомов вдоль одной оси (ОХ)

Д ано: рентгеновс -

кое излучение па -

дает на атомы (I, II, III, IV) под углом скольжения ₀.

Найти: картину на экране.

Под действием пер-

вичного излучения

каждый атом стано-

вится источником вторичной сферической волны (принцип Гюйгенса - Френеля) той же частоты, что и падающая волна. Вторичная волна распространяется во всех направлениях, т.е. вдоль ОХ это система конусов (на чертеже показано образование одной образующей конуса).

Разность хода падающих лучей

а их разность фаз =2n (max)

Для вторичной волны: , тогда общая разность фаз или (d₁cos -d₁cos ₀)= =2 n (max). Отсюда следует, что

d₁(cos ₁ - cos ₀) =  n₁ ,

где n = 0,1,2, . . . . (число).

Аналогично для других направлений OY и OZ

d₂(cos  – cos ₀) =  n₂ 

d₃(cos  – cos ₀) =  n₃ 

Окончательно

d₁(cos  - cos ₀) =  n₁ 

d₂(cos  – cos ₀) =  n₂ 

d₃(cos  – cos ₀) =  n₃ .

Анализ.

а) Полученные выражения называются соотношениями Лауэ, где , , , ₀, ₀, ₀ - углы между соответствующими осями координат и направлениями дифрагирующего и падающего излучений, n₁, n₂, n₃ - целые числа, определяющие порядок максимума.

б) Из чертежа следует, что если вторичная волна от одного атома вдоль соответствующей оси образует конус, тогда вдоль 3-х осей – это система из трех конусов. У такой системы одна общая точка, поэтому дифракционная картина будет представлять собой светящиеся точки, при этом каждой можно приписать три индекса: n₁, n₂, n_3. Максимум интенсивности будет наблюдаться, если выбранное направление < n₁ n₂ n₃ > удовлетворяет всем трем уравнениям Лауэ.

в) Углы ,  и  не являются независимыми, так как связаны соотношением cos² + cos² + cos² = 1.

г) В данном случае интерференция достигается не линзой, а применением узкого пучка рентгеновских лучей.

д) Зная ₀, ₀, ₀, измерив , ,  или используя соотношение между углами п. в, а также определив индексы n₁, n₂, n₃ можно рассчитать постоянную кристаллической решетки вдоль разных направлений, т.е d₁, d₂, d₃.