2.3. Дифракция Френеля
Различают два случая дифракции света: дифракцию Френеля (или дифракцию в сходящихся лучах) и дифракцию Фраунгофера (дифракцию в параллельных лучах). В первом случае на препятствие падает сферическая волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся на конечном расстоянии от препятствия. На экране наблюдается "дифракционное изображение" препятствия. При дифракции Фраунгофера на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина ("дифракционное изображение" удаленного источника света) наблюдается на экране, находящемся в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света.
В простейших случаях (дифракция Френеля) вид дифракционной картины можно установить, используя метод зон.
Рассмотрим дифракцию Френеля от круглого отверстия.
Дано:
с ферическая
волна падает
на преграду
с отверстием,
диаметр кото -
го равен 2r0.
Пусть
r0 << a и
r0 << b.
Найти:
Арез (Iрез) в разных точках экрана.
Если r0 = rm = то
ч исло зон Френеля (m), которые уло -
жатся в отверстие, есть
Так как число зон ограничено, то и в выражении для Арез будет ограниченное число слагаемых, т.е.
Арез = А1 – А2 + А3 - . . . . . . Аm .
Полученное выражение запишем в виде:
Например, при m = 5:
При m = 6:
Как было установлено ранее, соответствующие выражения в скобках равны нулю, кроме того, при малых m, амплитуды соседних зон близки по величине. Поэтому С учетом этого
Анализ.
1) В этом выражении знак "+" – соответствует нечетному количеству зон, знак "-" - четному.
2) Из Аm А1 (m - мало) следует, что при m - нечетном Арез = А1, а при m - четном Арез = 0, т.е. интерференционная картина на экране будет представлять собой чередование светлых и темных полос (колец).
3) Световые лучи распространяются симметрично относительно прямой SP (рис.), поэтому дифракционная картина будет симметрична относительно центра.
4) При r0 Aрез = А1 –А2 +А3 – . . . . . . и Арез = (см. предыдущий случай).
5) В центре экрана (т. О) Imax при m - нечетном, Imin - m (четное), соответственно рис. а, б.
6) Если в отверстие укладывается только одна зона, то на экране наблюдается размытое светлое пятно.
7) Если m - велико, то чередование светлых и темных полос (колец) будет наблюдаться на границе геометрической тени. В центре картины Imax = const.
8) При const (цвет белый) полосы (кольца) приобретут цветную окраску, так как m
Подобным образом можно рассмотреть дифракцию Френеля от непрозрачного круглого диска или щели (частный случай отверстия).
2.4. Дифракция Фраунгофера на щели
Д ано: на препятствие со щелью длиной падает плоская волна. За щелью в фокальной плоскости уста -
новлена линза. В другой ее фокальной плоскости рас –
положен экран.
Найти: картину на экране или Iрез в разных точках.
Расчет можно произвести двумя способами: из мате -
матического представления принципа Гюйгенса – Фре -
неля, вычислив соответству-
щий интеграл или методом зон.
Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, параллельные краям щели и шириной dx. Вторичные волны, посылаемые такими зонами под углом (или -) соберутся, соответственно, в т. Р и Р |. Каждая зона возбудит колебание d, которое можно изобразить вектором . Линза со -
бирает в данном случае плоские, а не сферические вторичные волны, поэтому (множителя нет, K() = const). Амплитуда dAi колебания d, возбуждаемого зоной шириной dx может быть представлена в виде: dAi = Сdx, т.е. амплитуда будет определяться только шириной (площадью) dx. Тогда
где С – коэффициент пропорциональности, А0 – сумма амплитуд колебаний, посылаемых всеми зонами.
Из полученного соотношения и следовательно
или
На участке dx: = x sin, причем, если x = 0, то фаза колебаний t, при любом другом x в интервале dx фаза т.е. отстает на
Т аким образом, колебание,
которое создается всей щелью в
т. Р, есть
. I A2
После перехода к амплитудам (интенсивностям) получим их распределение в разных точках экрана
.
Здесь А (I) - амплитуда (интенсивность) волны, распространяющейся под углом , А0 (I0) - тоже при = 0.
Анализ.
а) При sin( I = 0 (min), где Здесь n – число (n = 1, 2, 3, . . . .). Обратим внимание n начинается с 1. После преобразования
a sin = n (min) или = n (min).
б) При I = max, где .
Здесь n = 0, 1, 2, 3, . . . . Окончательно
(max).
в) Интерференционная картина на экране симметрична относительно т. О (центра), так как I+ = I - = const. Это же следует и из где все сомножители в четной степени.
г) Из полученных соотношений следует, что зависимость I = = I (sin) - представляет собой центральный максимум с n = 0 - называемый нулевого порядка, а далее максимумы - первого (n = 1), второго (n = 2) и т.д. порядков. Нулевого минимума нет, поэтому в
с оответствующем условии
(п. а) число n - начинается с 1.
д) Условия max и min в произвольной точке на экране получаются и из метода зон (2 способ). В этом случае результат интерференции зависит от того, сколько зон Френеля укладывается в щели. При = = n, если число зон четно (2, 4, 6, 8 . . . ), то соседние "гасят" друг друга и = n - условие минимума.
Если и число зон нечетно (1, 3, 5, 7 . . .), то это условие максимума.
Таким образом,
е ) Из соотношения sin = n (min) с учетом получаем Если > 0, то – дробь, а должно быть целым числом. В этом случае минимума интенсивности не наблюдается (она спадает от центра к краям).
ж ) Пусть имеем две щели разной ширины ( 1 > 2) и = const, тогда при n1 = n2 = n
или 1sin1 = 2sin2. Отсюда, для широкой щели центральный максимум узкий и яркий. Он пред -
ставляет собой изображение источника света. Интерференционная
картина для данного случая пред -
ставлена на рисунке.
з) В точке n = +1 (первый минимум): sin = - для любой по размеру щели, тогда = arc sin и угловая ширина максимума = = 2 arc sin .
и) Из полученных результатов следует, что при = const (монохроматический свет) интерференционная картина на экране будет представлять собой чередование светлых и темных полос, ширина которых зависит от соотношения / .
к) При освещении щели белым светом ( const) по краям центрального максимума появляется радужная окраска. Полного "гашения" света не происходит ни в одной точке экрана, так как max и min света частично перекрываются.
При практическом использовании оптических приборов оправа объектива играет роль отверстия для падающего на нее света. Если направление падающего света нормально к плоскости объектива, то дифракционная картина в фокальной плоскости линзы имеет вид центрального светлого пятна, окруженного системой чередующегося светлых и темных колец, интенсивность которых мала и продолжает уменьшаться при увеличении порядка максимума. Если свет падает на объектив под небольшим углом, то характер дифракционной картины не изменяется, но ее центр смещается в побочный фокус линзы.