12.2. Функции распределения статистик
Основная задача любой физической статистики состоит в нахождении функции распределения по определенному параметру (составляющие импульса, импульс, энергия, скорость и т. д.), отвечающей равновесному состоянию системы.
В статистической физике доказывается, а мы приводим без доказательства, что
- в статистике Максвелла – Больцмана функция распределения по энергиям имеет вид (см. "Механика", Лекция 13)
или ,
- в статистике Бозе – Эйнштейна ,
- в статистике Ферми – Дирака .
Анализ.
1) Функция распределения по энергиям в статистике Максвелла – Больцмана – это распределение молекул идеального газа в фазовом пространстве, неподверженном действию силового поля.
2 ) В квантовых статистиках - энергия заполняемой ячейки, - химический потенциал одной микрочастицы. Для замкнутой термодинамической системы (см. "Механика". Лекция 15) . Если система незамкнута и осуществляется массообмен
с внешней средой, то , где - из -
менение числа частиц. С учетом выведенных ранее
соотношений
.
При - имеет смысл изменения энергии при изохорно – изоэнтропийном процессе.
3)
Г рафики функций распре –
деления частиц по энергиям для различных статистик приведены на рисунке.
4) При или
, т. е. квантовые статистики переходят в классическую.
5) В квантовой механике, как и в классической, функции распределения имеют статистический (вероятностный) характер. Они показывают вероятность заполнения фазовых ячеек электронами (бозонами).
12.3. Распределение электронов по составляющим
импульса, по энергиям и по импульсам
Дано: объем ( ) металла.
Найти: , т. е. число электронов, составляющие импульса которых изменяются в пределах
.
В пространстве импульсов ( ) построим элемент
объема и разобъем его на ячейки , тогда их чис-
ло ( ) будет
или .
Для единицы объема (число ячеек в единице объема)
.
Так как вероятность заполнения этих ячеек есть функция распределения Ферми – Дирака, т. е. , а согласно принципу Паули в каждой из них может разместиться только 2 электрона, то
.
Анализ:
1) Полученное выражение позволяет расчитать количество электронов, составляющие импульса которых изменяются в пределах .
2) Аналогичное выражение в статистике Максвелла – Больцмана есть (см. "Механика . . .". Лекция 13)
.
3) Величина , равная , есть функция распределения электронов по составляющим импульса.
Найдем число электронов ( ) в единице объема ( ) металла, энергия которых заключена в интервале от до ( ).
Д ано: объем металла.
Найти: .
В пространстве импульсов постро -
им две концентрические сферы с радиусами (на рисун-
ке показан плоский случай). Этим сферам соответствуют энергии
. Объем шарового слоя меж-
ду сферами (заштрихован) и в нем разместится - элементарных ячеек размером , т. е.
.
С учетом соответствующих преобразований
,
а число ячеек в единице объема есть
.
К ак и в предыдущем случае (распределение
электронов по составляющим импульса).
.
Анализ:
1 ) Зависимость приведена на рисунке. Площадь заштрихованной полоски соответствует числу ячеек (квантовых сос -
тояний), находящихся в интер-
вале .
2 ) Из рисунка следует, что с увеличением площадь полосок увеличивается. Это означает, что в равных по величине интервалах тем больше , чем выше , соответствующая этим ячейкам. Иначе говоря, энергетические уров-
ни, соответствующие квантовым состояниям, располагаются тем ближе друг к другу, чем выше энергия, отвечающая этим уровням.
3) Формула - это закон распределения электронов по энергиям.
Если в полученный закон подставить выведенные ранее соотношения, то выражение для числа электронов в единице
объема металла, полные импульсы которых заключены в
интервале от p до p + dp, есть
.